Płaszczyzna fazowa

Płaszczyzna fazowa – sposób wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych – jednorodnych równań różniczkowych pierwszego rzędu w dwóch wymiarach.

Równanie jednorodne w dwóch wymiarach można zapisać jako układ równań:

z zadanym warunkiem początkowym:

Rozwiązując ten układ otrzymuje się dwie funkcje:

spełniające warunek początkowy. Można narysować wykresy funkcji i osobno, można jednak także wyrugować parametr i uzyskać wykres funkcji (trajektorię układu) w układzie współrzędnych czyli w płaszczyźnie fazowej.

Dla równania jednorodnego wektor stały jest rozwiązaniem. Oznacza to, że początek układu współrzędnych w płaszczyźnie fazowej jest zawsze punktem równowagi. W każdym innym punkcie płaszczyzny fazowej można narysować wektor o współrzędnych – jest on styczny do trajektorii układu przez ten punkt przechodzącej. Rysując takie wektory dla wielu punktów płaszczyzny, rozpoczynając z dowolnego jej punktu, można narysować przybliżony przebieg trajektorii układu i zorientować się jaki charakter mają rozwiązania: czy zbiegają się do punktu równowagi, rozchodzą się od niego czy też są zamkniętymi orbitami wokół punktu równowagi.

Na przykład rozwiązując układ

z zadanym warunkiem początkowym

otrzymuje się następujące funkcje:

Trajektoria fazowa dla różnych warunków początkowych (x, y)

Podnosząc je do kwadratu i sumując otrzymuje się jedynkę trygonometryczną a zatem w płaszczyźnie fazowej otrzymuje się rozwiązanie – trajektorię fazową, która będzie okręgiem o środku w punkcie i promieniu przechodzącą przez punkt początkowy

Metoda płaszczyzny fazowej wykorzystywana bywa do określenia charakteru rozwiązań równań nieliniowych z niewielkimi i gładkimi nieliniowościami. Równania takie pojawiają się często w badaniu różnych układów dynamicznych. Można ją też stosować do badania rozwiązań równań jednowymiarowych drugiego rzędu. Równania takie sprowadza się, przez wprowadzenie zmiennej do układu dwóch równań pierwszego rzędu, które można zanalizować powyższą metodą.

Zobacz teżEdytuj