Całki Fresnela

Całka Fresnela – dwie funkcje specjalne $S(x)$ i $C(x),$ zwane odpowiednio sinusem i cosinusem Fresnela, zdefiniowane następująco:

Całki Fresnela

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},$

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.$

Należy zauważyć, że istnieje też inna definicja, w której powyższe całki są mnożone przez czynnik ${\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}.$

Nazwa tych funkcji została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego fizyka i inżyniera Augustina Jeana Fresnela.

Całki te pojawiły się w związku z optycznym efektem dyfrakcji Fresnela.

Wybrane własności

Funkcje $C(x)$ i $S(x)$ dla $x$ rzeczywistego są funkcjami nieparzystymi.

Związek z funkcją błędu:

$C(z)+iS(z)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}(1+i)\,\mathrm {erf} \left({\frac {(1-i)z}{2}}\right).$

Wartości graniczne dla $x$ rzeczywistego:

$\lim _{x\to \infty }C(x)=\lim _{x\to \infty }S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}},$

$\lim _{x\to -\infty }C(x)=\lim _{x\to -\infty }S(x)=-{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

Klotoida

Klotoida znana także jako spirala Cornu lub spirala Eulera, to krzywa powstająca przez narysowanie wykresu parametrycznego funkcji $S(t)$ względem $C(t).$ Ponieważ $t$ jest miarą długości łukowej tejże spirali, zatem spirala ta ma nieskończoną długość. Klotoida znalazła też zastosowanie przy projektowaniu szos.

Linki zewnętrzne

• Jerzy Kosek, Obliczenia całek Fresnela przez rozkład na szereg funkcji Bessela rzędu połówkowego. interferencja.republika.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-05-09)].