Całkowa nierówność Jensena

Całkowa nierówność Jensena jest użyteczną i bardzo ogólną relacją dotyczącą funkcji wypukłych, matematyka Johana Jensena, którego dowód podał w 1906 roku. Można go zapisać na dwa sposoby: dyskretny lub całkowy. Pojawia się w szczególności w analizie, teorii pomiaru i prawdopodobieństwie (twierdzenie Rao-Blackwella), ale także w fizyce statystycznej, mechanice kwantowej i teorii informacji (pod nazwą nierówność Gibbsa).

Definicja

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ będzie funkcją wypukłą, $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem o dodatniej mierze, oraz $u:U\to \mathbb {R}$ będzie funkcją całkowalną. Niech $|U|$ oznacza miarę zbioru $U.$ Wówczas zachodzi nierówność:

${\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}f(u)\,dx\geqslant f\left({\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}u\,dx\right).$

Dowód

Ponieważ $f$ jest funkcją wypukłą, to na mocy twierdzenia o hiperpłaszczyźnie podpierającej:

$\forall _{p\in \mathbb {R} }\exists _{r\in \mathbb {R} }\forall _{q\in \mathbb {R} }:f(q)\geqslant f(p)+r(q-p).$

(1)

Zatem podstawiając $p={\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}u\,dx=u(\xi )$ oraz $q=u(x)$ nierówność w zdaniu (1) przekształca się do postaci:

$f(u)\geqslant f(u(\xi ))+r(u-u(\xi )).$

Następnie całkując stronami względem $x$ po zbiorze $U$ i na mocy zależności $\int \limits _{U}\,dx=|U|$ oraz $\int \limits _{U}u\,dx=|U|u(\xi ){:}$

${\begin{aligned}&\int \limits _{U}f(u)\,dx\\[1ex]\geqslant {}&\int \limits _{U}f(u(\xi ))\,dx+r\int \limits _{U}u\,dx-r\int \limits _{U}u(\xi )\,dx\\[1ex]={}&f(u(\xi ))|U|+r|U|u(\xi )-r|U|u(\xi )\\[1ex]={}&f\left({\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}u\,dx\right)|U|\end{aligned}}$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.