Twierdzenie Rao-Blackwella:
Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech
będzie wypukłą funkcją parametru
dla każdego ustalonego
ze zbioru parametrów. Niech
będzie statystyką dostateczną a
pewną regułą decyzyjną wtedy
jest regułą decyzyjną zależną tylko od
i nie gorszą od
Dowód:
Lemat:
Niech
będzie zbiorem wypukłym, a
zmienną losową taką, że
wtedy
o ile istnieje.
A jest zbiorem wypukłym, a więc
czyli
jest regułą decyzyjną.
jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od
Co kończy dowód.
Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna