Statystyka (funkcja)

Statystyka – funkcja mierzalna określona na przestrzeni statystycznej, służąca do wyodrębnienia pewnych istotnych cech danych doświadczalnych. Jest szczególnym przypadkiem miary rozkładu. Pojęcie statystyki w statystyce matematycznej jest odpowiednikiem zmiennej losowej w rachunku prawdopodobieństwa.

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej.

Definicja

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {P}})$ będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

${\mathcal {P}}=\{P_{\theta }\colon \theta \in \Theta \}$

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele ${\mathcal {F}}$ podzbiorów zbioru $\Omega ,$ indeksowaną parametrem $\theta .$ Niech dalej $({\mathcal {X}},{\mathcal {C}})$ będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną $T\colon \Omega \to {\mathcal {X}}$ nazywamy statystyką. Zbiór $\Omega$ jest nazywany przestrzenią prób.

Własności

• Jeśli ${\mathcal {X}}=\mathbb {R}$ to statystykę $T$ nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
• Jeśli ${\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}$ to statystykę $T$ nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Przykłady

• mediana
• odchylenie standardowe
• średnie
• wariancja

Statystyka swobodna

Statystyka $T\colon \Omega \to \mathbb {R}$ jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy $E_{P_{\theta }}(T)$ istnieje i nie zależy od $\theta .$ Wspólną dla $\theta \in \Theta$ wartość oczekiwaną oznaczamy $E(T)$ i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki $T.$

Statystyka dostateczna

Definicja i własności

σ-ciało dostateczne

σ-podciało ${\mathcal {G}}$ σ-ciała ${\mathcal {F}}$ jest dostateczne, gdy dla każdego $F\in {\mathcal {F}}$ istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego $P(F|{\mathcal {G}})$ taka sama dla wszystkich miar z rodziny ${\mathcal {P}}.$

Statystyka dostateczna

Statystykę $T$ nazywamy dostateczną, jeżeli σ-podciało $T^{-1}({\mathcal {C}})$ jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka $T\colon (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}_{R^{n}},{\mathcal {P}})\to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}_{R^{n}})$ będzie statystyką o wartościach wektorowych. $T$ jest statystyką dostateczną dla rodziny ${\mathcal {P}}$ lub dla $\theta ,$ jeżeli dla każdej wartości $t$ rozkład warunkowy $P_{\theta }\{\cdot |T=t\}$ nie zależy od $\theta .$

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},\{p_{\theta }:\theta \in \Theta \})$ będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka $T\colon \Omega \to {\mathcal {X}}$ jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości $p_{\theta }$ dają się przedstawić w postaci:

$\bigwedge \limits _{\omega \in \Omega }p_{\theta }(\omega )=g_{\theta }(T(\omega ))h(\omega ),$

gdzie:

$h\colon \Omega \to [0;\infty )$ jest funkcją ${\mathcal {F}}$-mierzalną,

funkcje $g_{\theta }\colon {\mathcal {X}}\to [0;\infty )$ są ${\mathcal {C}}$-mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna

Statystykę dostateczną $S$ nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej $T$ istnieje funkcja $H$ taka, że $S=H(T).$

Zobacz też

• miara rozkładu
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Bibliografia

• Jean René Barra, Elżbieta Pleszczyńska, Maria Wesołowska: Matematyczne podstawy statystyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-02847-5.
• Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)