Otwórz menu główne

Statystyka (funkcja)

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

 

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele   podzbiorów zbioru   indeksowaną parametrem   Niech dalej   będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną   nazywamy statystyką. Zbiór   jest nazywany przestrzenią prób.

WłaściwościEdytuj

  • Jeśli   to statystykę   nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
  • Jeśli   to statystykę   nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

PrzykładyEdytuj

Statystyka swobodnaEdytuj

Statystyka   jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy   istnieje i nie zależy od   Wspólną dla   wartość oczekiwaną oznaczamy   i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki  

Statystyka dostatecznaEdytuj

Definicja i własnościEdytuj

σ-ciało dostateczne

σ-podciało   σ-ciała   jest dostateczne, gdy dla każdego   istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego   taka sama dla wszystkich miar z rodziny  

Statystyka dostateczna

Statystykę   nazywamy dostateczną, jeżeli σ-podciało   jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka   będzie statystyką o wartościach wektorowych.   jest statystyką dostateczną dla rodziny   lub dla   jeżeli dla każdej wartości   rozkład warunkowy   nie zależy od  

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech   będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka   jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości   dają się przedstawić w postaci:

 

gdzie:

  jest funkcją  -mierzalną,
funkcje   -mierzalne.

Minimalna statystyka dostatecznaEdytuj

Statystykę dostateczną   nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej   istnieje funkcja   taka, że  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. J.R. Barra, Matematyczne podstawy statystyki, s. 11–12.

BibliografiaEdytuj

  • Jean René Barra, Elżbieta Pleszczyńska, Maria Wesołowska: Matematyczne podstawy statystyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-02847-5.
  • Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)