Cykl (teoria grafów)

Cykl grafu – zamknięta droga prosta $e_{a},e_{b},\dots ,e_{z},$ taka że krawędź $e_{z}$ kończy się w początkowym wierzchołku drogi.

Przykładowy graf cykliczny

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu talia (obwód) grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Rodzaje cykli

• Cykl prosty to droga zamknięta, czyli taka, której koniec (ostatni wierzchołek) jest identyczny z początkiem (pierwszym wierzchołkiem). Cykl prosty jest szczególnym (prostszym) przypadkiem cyklu.
• Cykl Hamiltona – cykl prosty przebiegający przez wszystkie wierzchołki grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz (oprócz pierwszego wierzchołka).
• Cykl Eulera – cykl zawierający wszystkie krawędzie grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz.
• Cykl własny – w multigrafie cykl złożony z jednej krawędzi, która zaczyna się i kończy w tym samym wierzchołku (zwany też pętlą własną wierzchołka).

Twierdzenie

Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie $G$ jest nie mniejszy niż $2,$ to graf $G$ zawiera cykl.

Dowód twierdzenia

Oznaczmy najmniejszy stopień wierzchołka w grafie $G$ przez $\delta .$ Na podstawie lematu o uściskach dłoni wiemy, że:

$2m=\deg(v_{1})+\ldots +\deg(v_{n}).$

Ponieważ każdy wierzchołek grafu $G$ (z założenia) jest stopnia co najmniej $2,$ możemy zapisać, że:

$\deg(v_{1})+\ldots +\deg(v_{n})\geqslant n\delta \geqslant 2n.$

Po przekształceniu otrzymujemy:

$2m\geqslant 2n\Longrightarrow m\geqslant n.$

Jak widać, liczba krawędzi w grafie $(m)$ jest większa lub równa od liczby wierzchołków $(n).$ Łatwo zauważyć, że wobec tego w grafie $G$ występuje przynajmniej jeden cykl, co kończy dowód.

Wyjaśnienie: stworzenie ścieżki (lub drzewa) o $n$ wierzchołkach (niezawierającej cykli) pozwala „zużyć” do połączenia co najwyżej $n-1$ krawędzi. Ostatnia, $n$-ta krawędź, jaką musimy „dołożyć” do grafu zgodnie z założeniami, utworzy cykl.