Niech
dim
V
=
n
<
∞
.
{\displaystyle \dim V=n<\infty .}
Endomorfizm
f
:
V
⟶
V
{\displaystyle f\colon V\longrightarrow V}
jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza
B
{\displaystyle B}
przestrzeni
V
{\displaystyle V}
złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.
Dowód
Diagonalizowalność endomorfizmu
f
{\displaystyle f}
jest równoważna istnieniu w przestrzeni
V
{\displaystyle V}
„diagonalnej” bazy
B
=
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
,
{\displaystyle B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\},}
dla której
M
f
(
B
)
=
[
λ
1
0
…
0
0
λ
2
…
0
⋮
⋮
…
⋮
0
0
…
λ
n
]
.
{\displaystyle M_{f}(B)={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ldots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}
Ponieważ w tej bazie
i
{\displaystyle i}
-ta kolumna macierzy endomorfizmu jest układem współrzędnych wektora
f
(
v
i
)
{\displaystyle f(v_{i})}
w bazie
B
=
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
,
{\displaystyle B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\},}
tzn.
f
(
v
i
)
=
0
⋅
v
1
+
0
⋅
v
2
+
…
+
0
⋅
v
i
−
1
+
λ
i
v
i
+
0
⋅
v
i
+
1
+
…
+
0
⋅
v
n
=
λ
i
v
i
,
{\displaystyle f(v_{i})=0\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}+\ldots +0\cdot v_{i-1}+\lambda _{i}v_{i}+0\cdot v_{i+1}+\ldots +0\cdot v_{n}=\ \lambda _{i}v_{i},}
więc wszystkie wektory
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}
są wektorami własnymi endomorfizmu
f
{\displaystyle f}
◼
.
{\displaystyle \blacksquare .}
Wniosek
Jeżeli
f
{\displaystyle f}
jest endomorfizmem diagonalizowalnym i
D
=
M
f
(
B
)
{\displaystyle D=M_{f}(B)}
jest macierzą diagonalną, to baza
B
{\displaystyle B}
składa się z wektorów własnych endomorfizmu
f
,
{\displaystyle f,}
a przekątna macierzy
D
{\displaystyle D}
składa się z (niekoniecznie różnych) wartości własnych endomorfizmu
f
{\displaystyle f}
(z zachowaniem odpowiedniej kolejności).
Warunek wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu
edytuj
Warunek konieczny i wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu
edytuj
Niech
dim
V
=
n
.
{\displaystyle \dim V=n.}
Endomorfizm
f
:
V
⟶
V
{\displaystyle f\colon V\longrightarrow V}
jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:
wielomian charakterystyczny endomorfizmu
f
{\displaystyle f}
ma postać
Δ
(
λ
)
=
(
λ
1
−
λ
)
k
1
⋅
(
λ
2
−
λ
)
k
2
⋅
…
⋅
(
λ
p
−
λ
)
k
p
,
{\displaystyle \Delta (\lambda )=(\lambda _{1}-\lambda )^{k_{1}}\cdot (\lambda _{2}-\lambda )^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot (\lambda _{p}-\lambda )^{k_{p}},}
gdzie
k
1
+
k
2
+
…
+
k
p
=
n
{\displaystyle k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{p}=n}
oraz
λ
i
≠
λ
j
{\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{j}}
dla
i
,
j
∈
{
1
,
2
,
…
,
p
}
,
i
≠
j
,
{\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,p\},\ i\neq j,}
V
=
V
1
⊕
V
2
⊕
…
⊕
V
p
,
{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus \ldots \oplus V_{p},}
gdzie
V
i
<
V
{\displaystyle V_{i}<V}
jest podprzestrzenią przestrzeni
V
{\displaystyle V}
odpowiadającą wartości własnej
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
oraz
dim
V
i
=
k
i
.
{\displaystyle \dim V_{i}=k_{i}.}
Diagonalizacja endomorfizmu
f
:
R
3
∋
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
⟶
(
−
x
1
−
3
x
3
,
3
x
1
+
2
x
2
+
3
x
3
,
−
3
x
1
−
x
3
)
∈
R
3
:
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\longrightarrow (-x_{1}-3x_{3},3x_{1}+2x_{2}+3x_{3},-3x_{1}-x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}{:}}
Niech
B
{\displaystyle B}
będzie bazą kanoniczną w
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
A
=
M
f
(
B
)
=
[
−
1
0
−
3
3
2
3
−
3
0
−
1
]
.
{\displaystyle A=M_{f}(B)={\begin{bmatrix}-1&0&-3\\3&2&3\\-3&0&-1\end{bmatrix}}.}
Niech
Δ
(
λ
)
{\displaystyle \Delta (\lambda )}
będzie wielomianem charakterystycznym macierzy
A
{\displaystyle A}
Δ
(
λ
)
=
|
−
1
−
λ
0
−
3
3
2
−
λ
3
−
3
0
−
1
−
λ
|
=
−
(
λ
−
2
)
2
⋅
(
λ
+
4
)
.
{\displaystyle \Delta (\lambda )={\begin{vmatrix}-1-\lambda &0&-3\\3&2-\lambda &3\\-3&0&-1-\lambda \end{vmatrix}}=-(\lambda -2)^{2}\cdot (\lambda +4).}
Wówczas
λ
1
=
2
,
k
1
=
2
,
{\displaystyle \lambda _{1}=2,\ \ k_{1}=2,}
λ
2
=
−
4
,
k
2
=
1.
{\displaystyle \lambda _{2}=-4,\ \ k_{2}=1.}
Konstrukcja przestrzeni własnej
V
1
{\displaystyle V_{1}}
odpowiadającej wartości własnej
λ
1
=
2
:
{\displaystyle \lambda _{1}=2{:}}
[
−
3
0
−
3
3
0
3
−
3
0
−
3
]
⋅
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
0
0
0
]
⇔
−
3
x
1
−
3
x
3
=
0
⇔
x
1
=
−
x
3
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&0&-3\\3&0&3\\-3&0&-3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\ \ \Leftrightarrow \ -3x_{1}-3x_{3}=0\ \Leftrightarrow \ x_{1}=-x_{3}.}
Stąd
V
1
=
{
(
−
α
,
β
,
α
)
:
α
,
β
∈
R
}
=
{
α
(
−
1
,
0
,
1
)
+
β
(
0
,
1
,
0
)
:
α
,
β
∈
R
}
=
Lin
{
(
−
1
,
0
,
1
)
,
(
0
,
1
,
0
)
}
.
{\displaystyle V_{1}=\{(-\alpha ,\beta ,\alpha ):\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}=\{\alpha (-1,0,1)+\beta (0,1,0):\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}=\operatorname {Lin} \{(-1,0,1),(0,1,0)\}.}
Wektory
(
−
1
,
0
,
1
)
,
(
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0,1),(0,1,0)}
są oczywiście liniowo niezależne i stanowią bazę
B
1
{\displaystyle B_{1}}
przestrzeni
V
1
.
{\displaystyle V_{1}.}
Konstrukcja przestrzeni własnej
V
2
{\displaystyle V_{2}}
odpowiadającej wartości własnej
λ
2
=
−
4
:
{\displaystyle \lambda _{2}=-4{:}}
[
3
0
−
3
3
6
3
−
3
0
3
]
⋅
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
0
0
0
]
⇔
3
x
1
−
3
x
3
=
0
∧
3
x
1
+
6
x
2
+
3
x
3
=
0
⇔
x
1
=
x
3
∧
x
1
=
−
x
2
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0&-3\\3&6&3\\-3&0&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\ \ \Leftrightarrow \ 3x_{1}-3x_{3}=0\ \wedge \ 3x_{1}+6x_{2}+3x_{3}=0\Leftrightarrow \ x_{1}=x_{3}\ \wedge \ x_{1}=-x_{2}.}
Stąd
V
2
=
{
(
α
,
−
α
,
α
)
:
α
∈
R
}
=
{
α
(
1
,
−
1
,
1
)
)
:
α
∈
R
}
=
Lin
{
(
1
,
−
1
,
1
)
}
.
{\displaystyle V_{2}=\{(\alpha ,-\alpha ,\alpha ):\alpha \in \mathbb {R} \}=\{\alpha (1,-1,1)):\alpha \in \mathbb {R} \}=\operatorname {Lin} \{(1,-1,1)\}.}
Wektor
(
1
,
−
1
,
1
)
{\displaystyle (1,-1,1)}
jest bazą
B
2
{\displaystyle B_{2}}
przestrzeni
V
2
.
{\displaystyle V_{2}.}
Ostatecznie
dim
V
1
=
2
=
k
1
,
{\displaystyle \dim V_{1}=2=k_{1},}
dim
V
2
=
1
=
k
2
,
{\displaystyle \dim V_{2}=1=k_{2},}
więc
f
{\displaystyle f}
jest endomorfizmem diagonalizowalnym.
Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas: Algebra liniowa 2: definicje, twierdzenia, wzory . Wyd. VI rozszerzone. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002, s. 145, seria: Matematyka dla Studentów Politechniki Wrocławskiej. ISBN 978-83-85941-89-7 . OCLC 69535787 .