Niech Endomorfizm jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza przestrzeni złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.
Dowód
Diagonalizowalność endomorfizmu jest równoważna istnieniu w przestrzeni „diagonalnej” bazy dla której
Ponieważ w tej bazie -ta kolumna macierzy endomorfizmu jest układem współrzędnych wektora w bazie tzn.
więc wszystkie wektory są wektorami własnymi endomorfizmu
Wniosek
Jeżeli jest endomorfizmem diagonalizowalnym i jest macierzą diagonalną, to baza składa się z wektorów własnych endomorfizmu a przekątna macierzy składa się z (niekoniecznie różnych) wartości własnych endomorfizmu (z zachowaniem odpowiedniej kolejności).
Warunek wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmuedytuj
Niech Warunkiem wystarczającym na diagonalizowalność endomorfizmu jest, aby wielomian charakterystyczny endomorfizmu miał n różnych wartości własnych.
Uwaga:
Jeżeli jest wartością własną endomorfizmu o krotności (jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego), to dla podprzestrzeni odpowiadającej wartości własnej
Liczbą nazywamy wówczas krotnością algebraiczną, a liczbę nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej
Warunek konieczny i wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmuedytuj
Niech Endomorfizm jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:
wielomian charakterystyczny endomorfizmu ma postać
gdzie oraz dla
gdzie jest podprzestrzenią przestrzeni odpowiadającą wartości własnej oraz
Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas: Algebra liniowa 2: definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. VI rozszerzone. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002, s. 145, seria: Matematyka dla Studentów Politechniki Wrocławskiej. ISBN 978-83-85941-89-7. OCLC69535787.