Drzewo splay

Drzewo splay (drzewo rozchylane, drzewo Sleatora-Tarjana[1]) – struktura danych w formie samodostosowującego się drzewa poszukiwań binarnych (BST), wynaleziona przez Daniela Sleatora i Roberta Tarjana, reprezentująca zbiór elementów z porządkiem liniowym.

Wykonywanie podstawowych operacji na drzewie splay wiąże się z wykonaniem procedury która powoduje taką zmianę struktury drzewa że węzeł zostaje umieszczony w korzeniu przy zachowaniu porządku charakterystycznego dla drzewa BST.

W porównaniu do innych drzew BST, drzewa splay zmieniają swoją strukturę również podczas wyszukiwana kluczy (a nie tylko dodawania lub usuwania), przesuwając znaleziony węzeł w kierunku korzenia, dzięki temu często wyszukiwane węzły stają się szybsze do znalezienia. Z tego powodu drzewa splay bywają wykorzystywane w systemach typu cache. Drzewa splay nie są samorównoważące, ponieważ ich wysokość nie jest ograniczona przez – można np. tak wykonać operacje, że drzewo zdegeneruje się do listy.

Podstawowe operacje na drzewie splay, tj. wyszukiwanie elementu oraz wstawianie i usuwanie, są wykonywane w zamortyzowanym czasie gdzie jest liczbą elementów w drzewie[2]. Oznacza to, że dla dowolnego ciągu operacji na drzewie splay, łączny koszt wykonania tych operacji jest rzędu

Operacja SplayEdytuj

Operacja Splay jest procedurą kluczową dla działania drzewa typu splay. Polega ona na wykonaniu sekwencji kroków, z których każdy przybliża element   do korzenia. Każdy krok polega na wykonaniu jednej lub dwóch rotacji względem krawędzi wchodzących w skład początkowej ścieżki od   do korzenia.

W każdym kroku procedury   niech   oznacza ojca węzła   a jeśli   nie jest korzeniem, niech   oznacza z kolei jego ojca (i dziadka  ). Wyróżniamy trzy przypadki kroków procedury Splay, w zależności od tego czy   jest korzeniem i od wzajemnego położenia węzłów     i  [2]:

Krok zigEdytuj

Wykonywany kiedy   jest korzeniem, polega na rotacji drzewa względem krawędzi   Ten krok może być wykonany tylko jako ostatni krok procedury Splay.

Krok zig-zigEdytuj

Wykonywany kiedy   nie jest korzeniem, a   i   są krawędziami w jedną stronę, tj.   jest lewym synem   który jest lewym synem   albo   jest prawym synem   a   – prawym synem   Polega na rotacji względem krawędzi   łączącej ojca i dziadka wierzchołka   a potem względem krawędzi   łączącej   z jego ojcem.

Krok zag-zigEdytuj

Wykonywany kiedy   nie jest korzeniem, oraz   jest lewym synem   a   – prawym synem   lub odwrotnie. W tym kroku najpierw wykonuje się rotację względem krawędzi   a następnie względem krawędzi   która powstaje w wyniku pierwszej rotacji.

Implementacje podstawowych operacjiEdytuj

W opisie implementacji operacji na drzewie splay będziemy utożsamiali wierzchołek z przechowywaną w nim wartością.

WyszukiwanieEdytuj

Wyszukiwanie wierzchołka zawierającego daną wartość odbywa się jak w drzewie BST, przy czym jeżeli wyszukiwanie zakończyło się powodzeniem, a szukana wartość znajduje się w węźle   to wywołujemy   W przeciwnym wypadku wykonujemy   gdzie   jest ostatnim węzłem drzewa odwiedzonym przy wyszukiwaniu.

WstawienieEdytuj

Aby wstawić do drzewa   wartość   wyszukujemy   w   jak powyżej, wskutek czego w korzeniu znajduje się wartość   Jeżeli   to wstawienie jest zakończone, ponieważ oznacza to, że przed wstawieniem w   już znajdowało się   W przeciwnym wypadku przyjmijmy, że   (sytuacja odwrotna jest symetryczna). Odcinamy od   jego prawe poddrzewo   i tworzymy nowy węzeł zawierający   którego lewym synem czynimy   a prawym – korzeń poddrzewa  [3].

UsuwanieEdytuj

Aby usunąć z drzewa   wartość   wyszukujemy   jak powyżej. Teraz   znajduje się w korzeniu i ma poddrzewa: lewe   i prawe   Usuwamy wierzchołek   a następnie wyszukujemy w   wartości   co powoduje przemieszczenie do korzenia   największej wartości w poddrzewie   Do korzenia   podłączamy   jako prawe poddrzewo[3].

Inne operacjeEdytuj

W drzewach splay szczególnie łatwo jest zaimplementować operacje split – dzielenia drzewa   na dwa drzewa   i   tak, że wszystkie elementy w   są mniejsze, a w   – większe od zadanej wartości   oraz join – połączenia dwóch drzew   i   takich, że każdy element w   jest mniejszy niż każdy element w  

  wyszukaj w   element   zgodnie z algorytmem podanym powyżej, następnie w zależności od tego, czy w korzeniu jest obecnie wartość większa czy mniejsza od   dzielimy drzewo, usuwając krawędź z korzenia do lewego bądź prawego syna.

  W   wyszukujemy dowolny element z   w wyniku czego w korzeniu   pojawia się wierzchołek z największą wartością z   który nie ma prawego syna. Jako jego prawego syna podłączamy korzeń drzewa  

Zalety i wady drzew splayEdytuj

Drzewo splay charakteryzuje się asymptotycznie takim samym średnim kosztem dostępu, co samorównoważące się drzewa BST, w tym drzewa AVL oraz drzewa czerwono-czarne. Mimo to, w przypadku jednakowych prawdopodobieństw dostępu do poszczególnych elementów, drzewa splay działają w praktyce (choć nie asymptotycznie) wolniej niż inne tego typu drzewa, które dodatkowo posiadają ograniczenia na pesymistyczny koszt operacji. Zaletą drzew splay jest optymalizowanie dostępu przez przesuwanie wartości, do których ostatnio uzyskiwano dostęp, blisko korzenia, co powoduje ich dużą przydatność w implementacji pamięci cache i algorytmów odśmiecania.

Inną zaletą drzew splay w stosunku do drzew AVL i czerwono-czarnych jest łatwiejsza implementacja oraz niski nakład pamięciowy na przechowywanie drzewa. Sleator i Tarjan w swojej pracy[2] o drzewach typu splay opracowali sposób implementacji drzew splay wymagający takiej samej pamięci, jak standardowa implementacja drzew BST, w której w węźle przechowywane są jedynie: przechowywany element oraz dwa wskaźniki.

W przeciwieństwie do innych wyważonych drzew BST łatwo zaimplementować wariant drzew typu splay, który może przechowywać powtarzające się wartości (reprezentuje multizbiór).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein ↓, s. 432.
  2. a b c D. Sleator, R. Tarjan, Self-Adjusting Binary Search Trees [1].
  3. a b K. Diks, A. Malinowski, W. Rytter, T. Waleń, Algorytmy i struktury danych – słowniki, materiały dydaktyczne w serwisie wazniak.mimuw.edu.pl [2].

BibliografiaEdytuj

  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Wprowadzenie do algorytmów. WNT, 2007.

Linki zewnętrzneEdytuj