Ekspander

Ekspander – graf o niewielkiej liczbie krawędzi, w którym każdy podzbiór wierzchołków ma dużo sąsiadów. Istnieje kilka nierównoważnych formalizacji tej własności, definiujących różne klasy ekspanderów. Ekspandery pozwoliły na uzyskanie kilku istotnych wyników z różnych dziedzin informatyki: dowodów w teorii złożoności, projektowaniu sieci sortujących, kodów korekcji błędów, ekstraktorów losowości i odpornych na błędy schematów komunikacji w sieciach komputerowych.

Definicje

W zależności od kontekstu, używa się różnych sposobów mierzenia ekspansji grafu.

Ekspansja wierzchołkowa

$\alpha$ – ekspansja wierzchołkowa grafu to współczynnik

$g_{\alpha }(G)=\min _{1\leqslant |S|\leqslant \alpha {n}}{\frac {|\Gamma (S)|}{|S|}},$

gdzie $\Gamma (S)$ oznacza zbiór wszystkich sąsiadów zbioru $S$ (wierzchołków połączonych z tym zbiorem krawędzią). W niektórych zastosowaniach używa się pojęcia ekspansji jednokrawędziowej, gdzie bierze się pod uwagę tylko sąsiadów połączonych dokładnie jedną krawędzią z $S.$

Ekspansja krawędziowa

Współczynnik ekspansji krawędziowej grafu $G$ definiuje się jako:

$h_{\alpha }(G)=\min _{1\leqslant |S|\leqslant \alpha {n}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}},$

gdzie $\partial (S)$ oznacza zbiór krawędzi które łączą wierzchołek z $S$ z wierzchołkiem spoza $S.$

Ekspansja spektralna

Przedstawiając graf jako macierz sąsiedztwa, można zdefiniować ekspansję w terminach wartości własnych tej macierzy. Macierz ta jest z definicji symetryczna, posiada zatem $n$ rzeczywistych wartości własnych $\lambda _{0}\geqslant \lambda _{1}\geqslant \ldots \geqslant \lambda _{n-1}.$ W przypadku grafu regularnego $\lambda _{0}$ jest równa stopniowi grafu $d.$ Różnica $d-\lambda _{1}$ nazywana jest przerwą spektralną.

Zależności pomiędzy definicjami

Powyższe zależności są ze sobą powiązane. Oczywista jest zależność: $h_{\alpha }(G)\geqslant g_{\alpha }(G).$

Zależności pomiędzy ekspansją spektralną a pozostałymi zależnościami wyglądają następująco (dla grafu regularnego $G$)

${\frac {1}{2}}(d-\lambda _{1})\leqslant h_{1/2}(G)\leqslant {\sqrt {2d(d-\lambda _{1})}},$

$g_{\alpha }(G)\geqslant {\frac {1}{(1-\alpha )({\frac {\lambda _{1}}{d}})^{2}+\alpha }}.$

Przykłady ekspanderów

Losowo wygenerowany graf (przez łączenie krawędziami losowych wierzchołków) z dużym prawdopodobieństwem będzie miał wysokie współczynniki ekspansji.

Znane są również deterministyczne konstrukcje ekspanderów o dobrych własnościach. Przykładem jest rodzina grafów Ramanujan, o maksymalnej możliwej przerwie spektralnej. Kombinatoryczne konstrukcje takie jak zig-zag product, pozwalają uzyskiwać w prosty sposób grafy o dużej ekspansji wierzchołkowej.