Filtr Czebyszewa

Filtr Czebyszewa – rodzaj filtru elektrycznego, którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.

Przebieg przykładowych charakterystyk amplitudowych filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa I i II typu

Typy filtrów Czebyszewa

Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:

• filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym,
• filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Typ II (inwersyjny)

Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu) w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych filtrów prototypowych dolnoprzepustowych – FPD

Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):

• operowanie częstotliwością znormalizowaną $\Omega ,$
• konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora $s$ dla otrzymanych transmitancji $K(s).$

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych FDP

Kwadrat modułu transmitancji $K(s)$ filtru Czebyszewa II typu, w ujęciu widmowym $(s=j\omega ),$ dany jest następującym wzorem:

$|K(\Omega )|^{2}=K(S)\cdot K(-S)={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}\cdot {\frac {T_{N}^{2}\cdot \left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega _{c}}}\right)}{T_{N}^{2}\left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega }}\right)}}}},$

gdzie:

$A_{max}$ – przyjmuje się wartość 3 dB,

$\epsilon$ – współczynnik zafalowań w paśmie przepustowym, $\epsilon ={\sqrt {10^{0{,}1A_{max}}-1}},$ stąd: $\epsilon =1,$

$\Omega _{zap}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,

$\Omega _{c}=1,$

$T_{N}$ – wielomian Czebyszewa rzędu $N.$

Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji $K(s){:}$

$s_{v}={\frac {\Omega _{zap}}{\sigma \cdot \sin \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)\pm j\cdot \omega _{HA}\cdot \cos \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)}},$

gdzie:

$v_{max}=1,2,\dots ,N,$

$A_{min}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,

$\omega _{HA}=\cosh \left({\frac {1}{N}}\cdot \sinh ^{-1}{\sqrt {10^{0,1\cdot A_{min}}-1}}\right),$

$\sigma _{HA}={\sqrt {\omega _{HA}^{2}-1}}$

oraz zera transmitancji $K(s){:}$

$\omega _{0\mu }=\pm {\frac {\Omega {zap}}{\cos({\frac {2\mu -1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}})}},$

gdzie:

$\mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}}.$

Po obliczeniu biegunów i zer następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części $Re<0$ !) do wzoru na transmitancję $K(s){:}$

$K(s)={\frac {\prod _{\mu =1}^{\mu =max}\cdot (s^{2}+\omega _{o\mu }^{2})}{\prod _{v=1}^{v=max}\cdot (s-s_{v})}},$

gdzie:

$\mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}},$

$v_{max}=1,2,\dots ,N.$

Przykład

Przykładowa transmitancja $K(s)$ dla filtru FDP rzędu 3 $(N=3)$ o parametrach $\Omega _{zap}=1{,}15,$ $A_{min}=9\ {\text{dB}}{:}$

$K(s)={\frac {s^{2}+1{,}3279^{2}}{(s^{2}+0{,}6199\cdot s+1{,}1974)\cdot (s+1{,}9315)}}.$

Przykładowa charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3

Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu)

Rodzina charakterystyk amplitudowych filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3

Przy założeniu parametrów pasma przepustowego: $A_{max}$ = 3 dB @ $\Omega _{c}$ = 1, główne właściwości filtru Czebyszewa II typu są następujące:

• przy stałym rzędzie $N$ filtru, istotna jest zależność pomiędzy $A_{min}$ a $\Omega _{zap},$
• gdy wartości $\Omega _{zap}$ bliskie $\Omega _{c}$ = 1 – powodują zmniejszanie wartości $A_{min}$ (zjawisko niekorzystne),
• gdy $\Omega _{zap}\ll 1,$ wtedy zwiększa się wartość $A_{min}$ (zmniejszenie zafalowań w paśmie zaporowym), ale również poszerza się pasmo przejściowe.

Bibliografia

• Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów, Helion, Gliwice 1999.
• G. Fritzsche, Entwurf linearer Schaltungen, VEB Verlag Technik, 1962.

Linki zewnętrzne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-03)].