Hiperpłaszczyzna podpierająca – pojęcie analizy wypukłej.
Niech
będzie niepustym wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej
Funkcjonał liniowy
nazywa się funkcjonałem podpierającym zbiór
w punkcie
jeśli istnieje taka liczba rzeczywista
że
![{\displaystyle f(x_{0})=\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15b5e65300b9b833e6e2bc629290fb6e2cbcc37)
oraz
![{\displaystyle A\subseteq \{x\in X\colon f(x)\leqslant \lambda \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ecde43ced5ef23245d48d0c53f2a8219e8f481)
Wówczas
nazywa się hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór
w punkcie
Dla hiperpłaszczyzn podpierających przestrzeni euklidesowych zachodzi twierdzenie o hiperpłaszczyźnie podpierającej:
Niech
będzie funkcją wypukłą. Wtedy:
![{\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\exists _{r\in \mathbb {R} ^{n}}\forall _{y\in \mathbb {R} ^{n}}~f(y)\geqslant f(x)+\langle r,\;y-x\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a15960d39f81c8215339f5cc75f2e395aac9d2)
gdzie
oznacza standardowy iloczyn skalarny w
Odwzorowanie
![{\displaystyle y\mapsto f(x)+\langle r,\;y-x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61172dbcc03ecf217931f27077cfb002a1dd339)
wyznacza hiperpłaszczyznę podpierającą
w punkcie
Nierówność powyższa oznacza zatem, że wykres
jest położony nad każdą hiperpłaszczyzną podpierającą. Jeśli
jest różniczkowalna w
to
![{\displaystyle r=\nabla f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a6f0545535b5c1a05cbf2a9ad29284ff837ec4)
- Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.