Graf planarny
Graf planarny – graf, który można narysować na płaszczyźnie (i każdej powierzchni genusu 0) tak, by krzywe obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się ze sobą. Odwzorowanie grafu planarnego na płaszczyznę o tej własności nazywane jest jego rysunkiem płaskim. Graf planarny o zbiorze wierzchołków i krawędzi zdefiniowanym poprzez rysunek płaski nazywany jest grafem płaskim[1].

Kryterium Kuratowskiego
edytujDwa minimalne grafy, które nie są planarne, to K5 i K3,3. Twierdzenie Kuratowskiego (1930) mówi, że graf skończony jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K5 ani z grafem K3,3.
Dowolny rysunek płaski grafu planarnego wyznacza spójne obszary płaszczyzny zwane ścianami. Dokładnie jeden z tych obszarów, zwany ścianą zewnętrzną, jest nieograniczony.
Zgodnie z wzorem Eulera, jeżeli oraz jest grafem spójnym i planarnym, to gdzie – zbiór wierzchołków, – zbiór krawędzi, – zbiór ścian dowolnego rysunku płaskiego grafu
Wnioski ze wzoru Eulera
edytuj- Jeżeli G jest planarny i posiada składowych spójnych, to
- Jeżeli G jest planarny i to
- Jeżeli G jest planarny, to wierzchołek o najmniejszym stopniu jest stopnia co najwyżej 5.
Zgodnie z twierdzeniem o czterech barwach, graf planarny daje się zawsze pokolorować przy użyciu co najwyżej czterech kolorów.
Kolorowanie grafu planarnego
edytujTwierdzenie o czterech barwach stwierdza iż każdy graf planarny może zostać pokolorowany przy użyciu 4 kolorów.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Reinhard Diestel: Graph Theory. Nowy Jork: 2000, s. 67, 80. ISBN 0-387-95014-1.
Linki zewnętrzne
edytuj- Marcin Kotowski , Michał Kotowski , Kafelkowanie prostokątów i grafy planarne, „Delta”, październik 2014, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-06-03] .
- Grafy planarne, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 16 sierpnia 2017 [dostęp 2024-09-04].
- Eric W. Weisstein , Planar Graph, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-10-12].
- Graph, planar (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].