Graf planarny

Graf planarny – graf, który można narysować na płaszczyźnie (i każdej powierzchni genusu 0) tak, by krzywe obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się ze sobą. Odwzorowanie grafu planarnego na płaszczyznę o tej własności nazywane jest jego rysunkiem płaskim. Graf planarny o zbiorze wierzchołków i krawędzi zdefiniowanym poprzez rysunek płaski nazywany jest grafem płaskim.

Przykład grafu planarnego: graf Goldnera-Harary’ego

Kryterium Kuratowskiego

Dwa minimalne grafy, które nie są planarne, to K₅ i K_3,3. Twierdzenie Kuratowskiego (1930) mówi, że graf skończony jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K₅ ani z grafem K_3,3.

Twierdzenie Eulera

Dowolny rysunek płaski grafu planarnego wyznacza spójne obszary płaszczyzny zwane ścianami. Dokładnie jeden z tych obszarów, zwany ścianą zewnętrzną, jest nieograniczony.

Zgodnie z wzorem Eulera, jeżeli $|V|\geqslant 3$ oraz $G$ jest grafem spójnym i planarnym, to $|V|+|S|-|E|=2,$ gdzie $V$ – zbiór wierzchołków, $E$ – zbiór krawędzi, $S$ – zbiór ścian dowolnego rysunku płaskiego grafu $G.$

Wnioski ze wzoru Eulera

• Jeżeli G jest planarny i posiada $k$ składowych spójnych, to $|V|+|S|-|E|=k+1.$
• Jeżeli G jest planarny i $|V|\geqslant 3,$ to $|E|\leqslant 3\cdot |V|-6.$
• Jeżeli G jest planarny, to wierzchołek o najmniejszym stopniu jest stopnia co najwyżej 5.

Zgodnie z twierdzeniem o czterech barwach, graf planarny daje się zawsze pokolorować przy użyciu co najwyżej czterech kolorów.

Kolorowanie grafu planarnego

Twierdzenie o czterech barwach stwierdza iż każdy graf planarny może zostać pokolorowany przy użyciu 4 kolorów.

Zobacz też

• domki i studnie

Linki zewnętrzne

• MarcinM. Kotowski MarcinM., MichałM. Kotowski MichałM., Kafelkowanie prostokątów i grafy planarne, „Delta”, październik 2014, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-06-03] .
• Grafy planarne, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 16 sierpnia 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Planar Graph, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-10-12].
• Graph, planar (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].