Indykator bankructwa

Indykator bankructwa – proces stochastyczny wyrażający się wzorem:

$I(t)=\mathbb {I} _{\{\tau \leq t\}}$ dla $t\geq 0,$ gdzie:

$I(t,\omega )={\begin{cases}0,&{\text{gdy }}t<\tau (\omega ){\text{ (przed bankructwem)}},\\1,&{\text{gdy }}\tau (\omega )\leqslant t{\text{ (po bankructwie)}},\end{cases}}$

gdzie:

$\tau$ – moment bankructwa.

Ten proces ma niemalejące i prawostronnie ciągłe trajektorie i zmienia wartość z zera na jeden w momencie bankructwa. Indykator bankructwa jest wykorzystywany w ryzyku kredytowym do określenia kwoty jaką odzyska bank po bankructwie firmy, której udzielono kredyt.

Filtracja

Filtracja $({\mathcal {I_{t}}})_{t\geq 0}$ generowana przez indykator bankructwa jest zdefiniowana wzorem:

${\mathcal {I_{t}}}=\sigma (\{I(s):s\in [0,t]\}),$

gdzie:

${\mathcal {I_{t}}}$ jest najmniejszym $\sigma$ – ciałem takim, że każde $I(s),s\leqslant t$ jest mierzalne. $I(t)$ jest ${\mathcal {I_{t}}}$-mierzalne, więc $\tau$ jest momentem stopu:

$\{\tau \leqslant t\}=\{I(t)=1\}\in {\mathcal {I_{t}}}.$

Własności

Twierdzenie

$({\mathcal {I_{t}}})_{t\geq 0}$ jest najmniejszą filtracją taką, że $\tau$ jest momentem stopu względem tej filtracji.

Dowód

Rozpatrzymy dowolną filtrację ${\mathcal {F}}_{t},$ $\forall t>0$ względem której $\tau$ jest momentem stopu. Z własności filtracji wiemy, że:

$\forall s\leq t:\sigma (I(t))\subset {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}.$

Z definicji filtracji ${\mathcal {I_{t}}}{:}$

${\mathcal {I_{t}}}=\sigma (\{I(s):s\in [0,t]\})\subset \sigma ({\mathcal {F}}_{t})={\mathcal {F}}_{t}.$

Pokazaliśmy, że ${\mathcal {I}}_{t}\subset {\mathcal {F}}_{t},$ więc ${\mathcal {I_{t}}}$ jest najmniejszą filtracją względem której $\tau$ jest momentem stopu.$\Box$