Ten artykuł należy dopracować:
Interpolacja naturalna – jeden z rodzajów interpolacji .
Dana jest funkcja
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
[
x
0
,
x
n
]
{\displaystyle y=f(x),x\in [x_{0},x_{n}]}
f
(
x
0
)
=
y
0
,
f
(
x
1
)
=
y
1
…
f
(
x
n
)
=
y
n
.
{\displaystyle f(x_{0})=y_{0},f(x_{1})=y_{1}\dots f(x_{n})=y_{n}.}
Będziemy poszukiwać funkcji
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
W
(
x
0
)
=
y
0
,
W
(
x
1
)
=
y
1
…
W
(
x
n
)
=
y
n
.
{\displaystyle W(x_{0})=y_{0},W(x_{1})=y_{1}\dots W(x_{n})=y_{n}.}
Poszukiwaną funkcją interpolacyjną będzie wielomian w postaci
W
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
n
x
n
.
{\displaystyle W(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}.}
Zdefiniujmy macierz współczynników
A
:
{\displaystyle \mathbf {A} {:}}
A
=
[
a
0
a
1
a
2
⋮
a
n
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}
oraz macierz bazową
B
:
{\displaystyle \mathbf {B} {:}}
B
=
[
x
0
x
1
x
2
⋯
x
n
]
.
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}x^{0}&x^{1}&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}.}
Wówczas wielomian interpolacyjny wyraża wzór
W
(
x
)
=
B
A
.
{\displaystyle W(x)=\mathbf {B} \mathbf {A} .}
Zdefiniujmy macierz główną
X
:
{\displaystyle \mathbf {X} {:}}
X
=
[
x
0
0
x
0
1
x
0
2
⋯
x
0
n
x
1
0
x
1
1
x
1
2
⋯
x
1
n
x
2
0
x
2
1
x
2
2
⋯
x
2
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
x
n
0
x
n
1
x
n
2
⋯
x
n
n
]
.
{\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x_{0}^{0}&x_{0}^{1}&x_{0}^{2}&\cdots &x_{0}^{n}\\x_{1}^{0}&x_{1}^{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n}\\x_{2}^{0}&x_{2}^{1}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}^{0}&x_{n}^{1}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}.}
Macierz
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
macierz Vandermonde’a .
Zdefiniujmy macierz
Y
:
{\displaystyle \mathbf {Y} {:}}
Y
=
[
y
0
y
1
y
2
⋮
y
n
]
.
{\displaystyle \mathbf {Y} ={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.}
Jeśli macierz
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
A
=
X
−
1
Y
,
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {Y} ,}
co implikuje
W
(
x
)
=
B
X
−
1
Y
.
{\displaystyle W(x)=\mathbf {B} \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {Y} .}
Wady i zalety
edytuj
Niepodważalną zaletą tej metody jest jej prostota. Przekłada się to na łatwość jej implementacji w programach komputerowych oraz zastosowania w metodach numerycznych.
Sporą wadą interpolacji naturalnej jest konieczność odwracania macierzy głównej co jest – szczególnie przy dużym rozmiarze macierzy – operacją skomplikowaną oraz niedokładną (błędy zaokrągleń).
W związku z tym częściej w praktyce stosowana jest interpolacja Lagrange’a .
Bibliografia
edytuj
Ewa Majchrzak, Bohdan Mochnacki: Metody numeryczne: Podstawy Teoretyczne, Aspekty Praktyczne i Algorytmy . Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2004. ISBN 83-7335-231-7 . Sprawdź autora:3. brak strony w książce 
![{\displaystyle y=f(x),x\in [x_{0},x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a662cafe2e82da8f875a415f3cc473eb0f5956)
