Inwersja obsadzeń

Inwersja obsadzeń w mechanice statystycznej – stan układu, w którym liczba cząstek o energii wyższej jest większa niż cząsteczek o energii niższej. Inwersja obsadzeń jest wykorzystana w działaniu lasera.

Rozkład Boltzmanna

Jeżeli układ statystyczny (atomów) składa się z wielu prostych układów, z których każdy może przyjmować jeden z dwóch stanów

1. poziom podstawowy o energii $E_{1}$ lub
2. poziom wzbudzony o energii $E_{2},$ przy czym $E_{2}>E_{1}.$

Liczba atomów w stanie podstawowym jest określona przez $N_{1},$ a w stanie wzbudzonym przez $N_{2}.$ Różnica energii między poziomami determinuje pochłonięcie lub emisję fotonu o częstości $\nu _{21}$ określonej wzorem

$E_{2}-E_{1}=\Delta E=h\nu _{21},$

gdzie $h$ to stała Plancka.

Układ ten, zgodnie z rozkładem Boltzmanna, w temperaturze $T$ będzie miał rozkład obsadzeń

${\frac {N_{2}}{N_{1}}}=\exp \left({\frac {-(E_{2}-E_{1})}{kT}}\right),$

gdzie:

$k$ – stała Boltzmanna,

$T$ – temperatura.

Wnioski z rozkładu Boltzmanna:

• W temperaturze zera bezwzględnego, wszystkie atomy znajdują się w stanie o najniższej energii.
• Wzrost temperatury powoduje wzrost liczby atomów w stanie o większej energii.
• W dowolnej temperaturze więcej atomów będzie w stanie o niższej energii $(E_{1}),$ niż w stanie o wyższej energii $(E_{2}).$

W pewnych warunkach możliwe jest doprowadzenie do stanu, w którym więcej atomów znajduje się w wyższym stanie wzbudzenia. Układ taki nie jest trwały i dąży do rozkładu zgodnego z rozkładem Boltzmanna. Stan taki nazywamy inwersją obsadzeń.

Stan inwersji obsadzeń jest warunkiem pracy lasera.

Wzór Boltzmanna (rozkład kanoniczny)

Układ klasyczny mogący wymieniać energię z otoczeniem utrzymywany w temperaturze $T$ opisany jest wzorem Boltzmanna, tj. rozkładem kanonicznym:

$P(x)={\frac {1}{Z}}\exp \left({\frac {-U(x)}{kT}}\right),$

gdzie:

$P(x)$ – prawdopodobieństwo realizacji stanu makroskopowego przez dany stan mikroskopowy $x,$

$U(x)$ – energia w stanie mikroskopowym $x.$

$Z=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {-U(x)}{kT}}\right){\mbox{d}}x,$ kiedy energia jest skwantowana, wtedy zamiast całki należy zastosować sumowanie po wszystkich jej możliwych wartościach. Jest to suma statystyczna zwana również funkcją rozdziału.