Kategoria homotopijna

Kategoria homotopijna – kategoria, w której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami klasy homotopii odwzorowań między nimi. Kategoria ta często jest oznaczana HTop.

W HTop złożeniem dwóch morfizmów $[f]$ i $[g]$ (gdzie $[\;]$ oznaczają wzięcie klasy homotopii) jest:

$[f]\circ [g]=[f\circ g].$

Definicja ta jest poprawna, gdyż jeśli odwzorowania $f_{1}\sim f_{2}$ i $g_{1}\sim g_{2}$ (są homotopijne), to odwzorowania $f_{1}\circ g_{1}\sim f_{2}\circ g_{2}.$

Zbiór wszystkich morfizmów z przestrzeni X do Y oznaczamy [X,Y], w odróżnieniu od ogólnego oznaczenia Hom(X,Y).

Głównym zadaniem teorii homotopii jest badanie zbioru [X,Y].

Kategoria homotopijna z wyróżnionym punktem

W topologii algebraicznej często zachodzi konieczność istnienia wyróżnionych punktów, które należy kontrolować. Wtedy mamy do czynienia z kategorią $HTop_{*},$ w której obiektami są pary $(X,x_{0}),$ gdzie X jest przestrzenią topologiczną i $x_{0}\in X.$ Morfizmami między $(X,x_{0})$ a $(y,y_{0})$ są klasy homotopii (relatywnie $x_{0}$) odwzorowań $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),$ tzn. $f\colon X\to Y$ oraz $f(x_{0})=y_{0}.$

Tak zdefiniowana kategoria $HTop_{*}$ pozwala na dobrze odkreślić funktor homotopii, który parze $(X,x_{0})$ przypisuje $\pi (X,x_{0})$ – grupy homotopii względem $x_{0}.$