Kryterium Cauchy’ego
Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.
Kryterium
edytujNiech dany będzie szereg liczbowy
(A) |
o wyrazach nieujemnych.
- Jeżeli
to szereg (A) jest zbieżny.
- Jeżeli
to szereg (A) jest rozbieżny[1].
Wersja graniczna kryterium
edytujCzęsto używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica
to
Dowód
edytujW przypadku, gdy
istnieją takie liczby i że
dla każdego To oznacza, że dla zachodzi nierówność
czyli
co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu (A).
W przypadku, gdy
istnieje taka liczba że dla zachodzi nierówność
a więc spełniona jest także nierówność
Oznacza to, że szereg (A) jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.
Przykład zastosowania
edytujRozważmy szereg
(B) |
Wówczas
Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (B) jest zbieżny.
Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności
edytujKryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg (A) jest zbieżny, gdy
Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (an), (bn), gdzie
Wówczas
(korzystamy z faktu, że ). Jednak (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[2][3].
Porównanie z kryterium d’Alemberta
edytujKryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg (A) o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi[4]. Istotnie, załóżmy, że szereg (A) spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.
Wówczas istnieją liczba oraz taka, że
dla dowolnego Wówczas dla każdego Zatem
Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.
Niech dany będzie szereg
Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci
Zauważmy, że
oraz
Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (A) jest zbieżny. Z drugiej strony
co pokazuje, że szereg (A) nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.
Przypisy
edytuj- ↑ a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 233.
- ↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 47.
- ↑ Leja 1971 ↓, s. 193.
- ↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 48.
Bibliografia
edytuj- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
- Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
Literatura dodatkowa
edytuj- Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
- Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.