Kryterium Schlömilcha zagęszczające

Kryterium Schlömilcha zagęszczające – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez niemieckiego matematyka, Oskara Schlömilcha.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$

(A)

którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz $a_{n}\geqslant 0$ dla wszelkich $n.$ Ponadto niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych

$u(1)<u(2)<u(3)<\ldots$

o tej własności, że

${\frac {\Delta u(n)}{\Delta u(n-1)}}\ =\ {\frac {u(n+1)-u(n)}{u(n)-u(n-1)}}\ <\ N$

dla pewnego $N>0$ oraz wszystkich $n.$ Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,a_{u(n)}\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n+1)-u(n){\Big )}a_{u(n)}$.

Konsekwencje

Biorąc

$u(n)=2^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ),$

otrzymuje się kryterium Cauchy’ego zagęszczające.

Przykład zastosowania

Szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{\sqrt {n}}}}$

jest zbieżny. Istotnie, biorąc

$u(n)=n^{2},$

mamy

${\frac {\Delta u(n)}{\Delta u(n-1)}}={\frac {u(n+1)-u(n)}{u(n)-u(n-1)}}={\frac {(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}-(n-1)^{2}}}\leqslant 3$

dla wszelkich n. Oznacza to, że kryterium Schlömilcha zagęszczające się stosuje. Zatem rozważany szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n+1)^{2}-n^{2}}{2^{\sqrt {n^{2}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+1}{2^{n}}}.$

Zbieżność powyższego szeregu wynika z kryterium d’Alemberta, a więc wyjściowy szereg jest istotnie zbieżny.

Bibliografia

• D.D. Bonar, M. Khoury Jr., Real Infinite Series. Mathematical Association of America, Washington DC, 2006.