Liczba Nusselta

Liczba Nusselta – w termodynamice jedna z liczb podobieństwa. W ośrodku płynnym wyraża ona stosunek szybkości wymiany ciepła w wyniku konwekcji do szybkości wymiany ciepła w wyniku przewodnictwa cieplnego. Liczbę Nusselta definiuje się zwykle jako:

gdzie:

– współczynnik wnikania ciepła [W/(m2K)],
– charakterystyczny wymiar liniowy [m],
współczynnik przewodzenia ciepła [W/mK].

Jeśli przepływ ciepła w układzie odbywa się wyłącznie poprzez przewodnictwo (konwekcja nie występuje), liczba Nusselta jest równa 1[1]. Odpowiednikiem liczby Nusselta w procesie wymiany masy jest liczba Sherwooda (Sh).

WyprowadzenieEdytuj

Zestawmy przy ściance prawo Newtona dla strumienia ciepła dla konwekcji (lewa strona poniższego równania) i prawa Fouriera dla przewodnictwa (z prawej):

 

gdzie:   to wsp. wnikania ciepła,   to wsp. przewodzenia ciepła,   to temperatura,   to temperatura ścianki,   to temperatura płynu w nieskończoności. Pochodna temperatury wzięta w nawias z dolnym indeksem ‘w’ oznacza, że jest liczona, zaczynając od ścianki w kierunku do niej prostopadłym (y). Równanie jest w [W/m²], a więc odzwierciedla natężenie strumienia ciepła.

Przy ściance (szary kolor) znajduje się cienka warstwa przyległego (nieruchomego, przylepionego) płynu który przewodzi ciepło (  oraz gradient temperatury od powierzchni ścianki w kierunku płynu), natomiast dalej od ścianki znajduje się ruchomy płyn w którym wymiana ciepła następuje przez konwekcję (    – temperatura płynu w nieskończoności,   – temperatura ścianki). Ilość ciepła przejęta przez przewodzenie musi być równa ilości ciepła przejętego przez przejmowanie. Czerwona linia to temperatura (pionowa oś) względem odległości od ścianki. Naniesiono czarną linię styczną do wykresu temperatury przy ściance, iloczyn jej pochodnej i   daje w przybliżeniu natężenie strumienia ciepła związanego z przewodzeniem. Czerwona krzywa obrazuje jak kształtuje się temperatura w zależności od odległości od ścianki (na rysunku założono, że jest chłodniejsza niż płyn w nieskończoności). Po podzieleniu odpowiednim powyższego równania:

 

Używając dalej teorii podobieństwa, czyli porównując dwa układy: rzeczywisty oraz jego model, otrzyma się liczbę Nusselta następująco:

Układ rzeczywisty Układ modelowy
   

Definicja stałych podobieństwa  

     
   

Podstawiając te zależności do równania układu modelowego otrzymamy

 

Z podobieństwa obydwu zjawisk wynika, że równania rzeczywiste i modelowe po podstawieniu zmiennych rzeczywistych, powinny być identyczne. Jest to możliwe w sytuacji, gdy jedno z nich zostało pomnożone przez skalar. Zatem współczynniki zawierające stałe podobieństwa, muszą dawać wartość właśnie tego skalara, zatem muszą być sobie równe tj.:

 

zatem:

Zależność idem
     

Przykładowa normalizacjaEdytuj

Można znormalizować wejściowe równanie, tak aby otrzymać jego postać bezwymiarową (bez jednostek) dla tego przypadku. Jeżeli dane z obliczeń i różnych eksperymentów zostaną podobnie znormalizowane, to wówczas można je między sobą porównywać. Zatem normalizacja stanowi swego rodzaju wspólny mianownik dla danych pochodzących z różnych źródeł.

Wprowadzając następujące zmienne bezwymiarowe (z gwiazdką)

Zmienna Jednostka Zakres zmiennych wymiarowych Zakres zmiennych bezwymiarowych
  [K]    
  [m]    

gdzie   jest wybranym (charakterystycznym) geometrycznym (wymiarowym [m]) – choć równanie generalnie dotyczy obszaru od ścianki w nieskończoność. Jednostką zmiennej   jest metr natomiast zmienna   jest bezwymiarowa (nie ma jednostki) – i dopiero iloczyn   staje się wymiarowy, gdyż parametr   zawiera jednostkę [m]. Podobnie rzecz się ma z   i   gdzie różnica   zawiera jednostkę [K] podobnie jak zmienna   zaś zmienna   nie ma wymiaru.

Do wejściowego równania:

 

można podstawić nowe zmienne

 

dostając

 

po podzieleniu obustronnym przez   otrzymamy:

 

zatem wejściowe równanie przybierze następującą bezwymiarową postać:

 

wraz z warunkiem brzegowym (który wynika powyższego podstawienia   oraz tego że dla   ma być  ):

 

gdzie liczba Nusselta jest zdefiniowana jako:

 

L to głębokość zbiornika,   to wsp. przenikania ciepłą dla wody,   to wsp. przewodzenia ciepła dla wody.

Dostając rozwiązanie   (czyli rozkład bezwymiarowej temperatury względem odległości od ścianki w cienkiej nieruchomej warstwie płynu przylegającego do niej) dla tak postawionego bezwymiarowego równania, możemy przeliczyć ten wynik dla układów podobnych (czyli takich które mogą być opisane tym samym równaniem oraz posiadające taką samą wartość liczby Nusselta). Wówczas wynik dla takiego przypadku będzie jako przez  

Rozwiązanie dla cienkiej warstwy płynu przylegającego do ścianki, gdzie występują, rozkład temperatury jest liniowy (patrz rysunek powyżej):

Scałkowane obustronnie równanie bezwymiarowe po dy:

 

dostając:

 

gdzie C to stała będąca sumą stałych pojawiających się po lewej i prawej stronie scałkowanego równania.

Uwzględniając warunek brzegowy na ściance (tj. dla   jest  ), mamy:

 

Zatem rozwiązanie równań bezwymiarowych ma postać:

 

Taka znormalizowana (bezwymiarowa) forma rozwiązania pozwala w łatwy sposób porównywać wyniki między sobą np. dla różnych przypadków zmierzonych eksperymentalnie i podobnie znormalizowanych.

W celu uzyskania wymiaru w rozwiązaniu można odwrócić proces normalizacji wprowadzając     oraz   i otrzymując:

 

PrzypisyEdytuj

  1. Dimensionless Numbers in Heat Transfer. [dostęp styczeń 2011].