Liczby Armstronga

Liczba Armstronga (narcystyczna) – n-cyfrowa liczba naturalna, która jest sumą swoich cyfr podniesionych do potęgi $n.$

Przykłady liczb narcystycznych dla wykładnika równego 3.

Definicja

Niech $a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{k-1}$ będzie liczbą naturalną z reprezentacją $a_{n}a_{n-1}\ldots a_{1}$ w systemie o podstawie $b$ (tak więc $0\leqslant a_{k}<b$ dla $k=1,\dots ,n$). Jeśli dla pewnej liczby naturalnej $m$ zachodzi

$a=\sum _{i=1}^{m}{a_{i}}^{m},$

to powiemy, że $a$ jest m-narcystyczną liczbą w bazie $b$.

Liczba narcystyczna to n-cyfrowa n-narcystyczna liczba w bazie dziesiętnej. Tak więc liczby narcystyczne to n-cyfrowe liczby naturalne spełniające warunek:

$\sum \limits _{1\leqslant k\leqslant n}a_{k}^{n}=\sum \limits _{1\leqslant k\leqslant n}a_{k}10^{k-1},$

gdzie: $a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1}$ to kolejne cyfry liczby (od najbardziej znaczącej do najmniej znaczącej).

Własności

• Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne:

$153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$

$370=3^{3}+7^{3}+0^{3}$

$371=3^{3}+7^{3}+1^{3}$

$407=4^{3}+0^{3}+7^{3}$

• Istnieją dokładnie trzy liczby 4-narcystyczne:

$1634=1^{4}+6^{4}+3^{4}+4^{4}$

$8208=8^{4}+2^{4}+0^{4}+8^{4}$

$9474=9^{4}+4^{4}+7^{4}+4^{4}$

• Istnieją dokładnie trzy liczby 5-narcystyczne:

$54748=5^{5}+4^{5}+7^{5}+4^{5}+8^{5}$

$92727=9^{5}+2^{5}+7^{5}+2^{5}+7^{5}$

$93084=9^{5}+3^{5}+0^{5}+8^{5}+4^{5}$

• Istnieje dokładnie jedna liczba 6-narcystyczna:

$548834=5^{6}+4^{6}+8^{6}+8^{6}+3^{6}+4^{6}$

• Istnieją dokładnie cztery liczby 7-narcystyczne:

$1741725=1^{7}+7^{7}+4^{7}+1^{7}+7^{7}+2^{7}+5^{7}$

$4210818=4^{7}+2^{7}+1^{7}+0^{7}+8^{7}+1^{7}+8^{7}$

$9800817=9^{7}+8^{7}+0^{7}+0^{7}+8^{7}+1^{7}+7^{7}$

$9926315=9^{7}+9^{7}+2^{7}+6^{7}+3^{7}+1^{7}+5^{7}$

• Jeśli $x$ jest liczbą narcystyczną, to

$10^{n-1}\leqslant x\leqslant n9^{n}.$

Ponieważ $10^{n-1}>n9^{n}$ dla $n\geqslant 61,$ to z powyższych nierówności wnioskujemy, że istnieje skończona ilość liczb Armstronga. Pokazano, że istnieje dokładnie 88 takich liczb. Największa z nich to 115132219018763992565095597973971522401, składająca się z 39 cyfr.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Narcissistic Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].