Miara martyngałowa

Miara martyngałowa (lub miara obojętna na ryzyko) – jedno z podstawowych pojęć z zakresu matematyki finansowej. Używa się go do wyceny instrumentów bazowych oraz pochodnych na rynkach zupełnych.

Definicja

Niech $B_{t}$ oznacza wartość instrumentu dyskontowego w momencie $t,$ a $V_{t}$ cenę instrumentu o wypłacie $X$ zapadającego w chwili $T.$ Miarą martyngałową $P^{*}$ nazywamy taką miarę probabilistyczną, że:

1. $\mathbb {P} ^{*}\sim \mathbb {P}$ (miara jest równoważna rzeczywistej mierze),
2. $V_{t}=\operatorname {E} _{P^{*}}\left({\frac {B_{t}}{B_{T}}}X|{\mathcal {F}}_{t}\right).$

Dla rynków skończonych zachodzenie powyższego warunku dla procesów cen instrumentów bazowych $S_{t}$ jest równoważna jego prawdziwości dla instrumentów pochodnych.

Przykłady

Model dwumianowy

Dla jednookresowego modelu CRR o własności $S_{1}=S_{o}U,$ gdzie $U$ przyjmuje wartości $1+a$ oraz $1+b,$ a $B_{t}=1+r$ miara martyngałowa jest zdefiniowana w następujący sposób:

$\mathbb {P} (U=1+a)={\frac {b-r}{b-a}},$

$\mathbb {P} (U=1+b)={\frac {r-a}{b-a}}.$

Warunkiem koniecznym dla braku istnienia arbitrażu jest ograniczenie na stopę procentową $r\in (\min\{a,b\},\max\{a,b\}).$

Dla $n$-okresowego modelu CRR miara martyngałowa przyjmuje następującą postać:

$\mathbb {P} \left(S_{n}=S_{0}(1+a)^{k}(1+b)^{n-k}\right)={\binom {n}{k}}{\frac {(b-r)^{k}(r-a)^{n-k}}{(b-a)^{n}}}.$

Model Blacka-Scholesa

W klasycznym modelu Blacka-Scholesa miarą martyngałową $P^{*}$ określa równanie:

$d\mathbb {P^{*}} =exp\left({\frac {r-\mu }{\sigma }}W_{T}-{\frac {T}{2}}\left({\frac {r-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)d\mathbb {P} ,$

gdzie:

$\mu$ – współczynnik dryfu,

$\sigma$ – współczynnik zmienności,

$r$ – bezryzykowna stopa procentowa.

Proces

$W_{t}^{B-S}=W_{t}-{\frac {r-\mu }{\sigma }}t$

jest procesem Wienera w mierze martyngałowej.

Wzór ten można uzyskać po zastosowaniu twierdzenia Girsanowa.

Bibliografia

• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: SCRIPT, 2006. ISBN 83-89716-06-2.brak strony w książce