Model Debye’a ciała stałego

Model Debye’amodel fizyczny ciała stałego używany w termodynamice i fizyce ciała stałego, wprowadzony przez Petera Debye’a w 1912 r., pozwalający wyznaczyć teoretycznie zależność ciepła właściwego ciał stałych od temperatury. Model ten zakłada, że w ciele stałym powstają fale, będące wynikiem drgań sieci krystalicznej ciała stałego (ogólnie fizyka tłumaczy powstawanie fal w ośrodkach materialnych jako wynik drgań cząsteczek tego ośrodka). Przy tym model zakłada, że istnieje minimalna długość propagujących się fal równa stałej sieci krystalicznej (i odpowiadająca jej maksymalna częstości ), gdyż fale o długościach mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym.

Był to historycznie drugi model (pierwszym był model Einsteina), który opisuje spadek ciepła właściwego z temperaturą, oraz pierwszy, który tłumaczy charakterystykę.

Do dziś jest to jeden z najlepszych modeli ciała stałego.

Założenia modelu

edytuj

Model rozpatruje ciało stałe jako izotropowy ośrodek sprężysty, punktowych ciał połączonych sprężynami wykonujących drgania swobodne. Oznacza to, że w ciele stałym o   atomach liczba drgań własnych sieci jest równa   a drgania sieci nie mogą mieć częstości większej od częstości maksymalnej[1] (częstości Debye’a), która wynika z minimalnej długości fali jaka może propagować się w ciele[2].

W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem harmonicznych oscylatorów kwantowych. W modelu Debye’a rozkład liczby oscylatorów w zależności od częstości dany jest przez zależność:

 

gdzie:

  częstość Debye’a,
  – objętość ciała,
  – liczba atomów w ciele,
  – uśredniona prędkość dźwięku w ciele stałym.
 
Zależność ciepła właściwego od temperatury w modelu Deby'a oraz Einsteina.

Energię wewnętrzną ciała stałego określa wzór:

  (dla każdej polaryzacji),

gdzie:

  •  stała Boltzmanna,
  •  stała Plancka podzielona przez  
  •   - rozkład Plancka

a ciepło właściwe:

 

więc:

 

gdzie:   temperatura Debye’a.

Granica wysokiej temperatury

edytuj

Jeżeli     to:     (prawo Dulonga-Petita),

gdzie:

 stała gazowa,
 stała Avogadra.

Granica niskiej temperatury

edytuj

Jeżeli     to:    

czyli

  (prawo Debye’a)

Temperatura Debye’a

edytuj

Temperatury Debaye’a dla wybranych substancji:

aluminum 426 K platyna 240 K
kadm 186 K krzem 640 K
chrom 610 K srebro 225 K
miedź 344,5 K cyna (biała, β) 195 K
złoto 165 K tytan 420 K
α-Żelazo 464 K wolfram 405 K
ołów 96 K cynk 300 K
α-Mangnez 476 K diament 2200 K
nikiel 440 K lód 192 K

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Debye’a model, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-04-04].
  2. praca zbiorowa: Encyklopedia Fizyki. T. I. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974, s. 317.