Odległość Bhattacharyyi

Odległość Bhattacharyyi – miara stosowana w statystyce do oszacowania różnicy między dwoma rozkładami prawdopodobieństwa. Jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnej odległości Chernoffa.

Definicja

Gdy dane są dwa rozkłady prawdopodobieństwa $p_{1}$ i $p_{2},$ współczynnik Bhattacharyyi definiuje się jako

$\rho =\int {\sqrt {p_{1}(x)p_{2}(x)}}\,dx$

Odległość Bhatacharyyi definiuje się jako:

$d_{b}(p_{1},p_{2})=-\ln \rho .$

Współczynnik $\rho$ leży w przedziale $[0,1],$ zatem $0\leqslant d_{b}\leqslant \infty$

Wzory dla poszczególnych rozkładów

Typ rozkładu	Wzór rozkładu $p_{i}(x)$	Wartość $d_{b}(p_{1},p_{2})$
Jednowymiarowy rozkład Gaussa: $N(\mu _{i},\sigma _{i})$	${\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu _{i})^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}}\right)$	${\frac {1}{4}}{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}{2\sigma _{1}\sigma _{2}}}\right)$
n-wymiarowy rozkład Gaussa: $N(\mu _{i},C_{i})$	${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}|C_{i}|^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu _{i})^{T}C_{i}^{-1}(x-\mu _{i})\right)$	${\frac {1}{8}}(\mu _{1}-\mu _{2})^{T}C^{-1}(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {|C|}{\sqrt {|C_{1}||C_{2}|}}}\right),$ gdzie $C={\frac {C_{1}+C_{2}}{2}}$
Rozkład Poissona	${\frac {e^{-\lambda _{i}}\lambda _{i}^{k}}{k!}}\delta (x-\lambda _{i})$	${\frac {1}{2}}({\sqrt {\lambda _{1}}}-{\sqrt {\lambda _{2}}})^{2}$

Zobacz też

• kąt statystyczny