Równania płytkiej wody

Równania płytkiej wody – w geofizyce opisują dywergencyjny przepływ barotropowy i są specjalnym przypadkiem quasi-statycznych prymitywnych równan ruchu atmosfery lub oceanu.

Równania płytkiej wody na płaszczyźnie f

Zakładając cienką warstwę cieczy o stałej gęstości ze swobodną powierzchnią, można wyprowadzić podstawowe równania płytkiej wody dla stałej siły Coriolisa (płaszczyźnie $f$) oraz w dywergencyjnym ruchu barotropowym w liniowym przybliżeniu kiedy odchylenie wysokości fali jest małe w porównaniu z wysokością cieczy $(h\ll H),$ mamy:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}},$

${\frac {\partial v}{\partial t}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}},$

${\frac {\partial h}{\partial t}}+H{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\Big )}=0,$

gdzie:

$u$ – prędkość w kierunku $x$ (prędkość strefowa),

$v$ – prędkość w kierunku $y$ (prędkość merydionalna),

$h$ – odchylenie powierzchni stałego ciśnienia od jej średniej wysokości $H,$

$H$ – średnia wysokość powierzchni stałego ciśnienia,

$g$ – przyśpieszenie grawitacyjne,

$f$ – współczynnik Coriolisa, na Ziemi jest równy $2\Omega \sin \varphi ,$ gdzie $\Omega$ jest kątową prędkością obrotu Ziemi ($\pi /12$ radianów/godzinę), $\varphi$ jest szerokością geograficzną.

Równania płytkiej wody na płaszczyźnie β

Przy podobnych założeniach co poprzednio, ale dla równikowej płaszczyzny $\beta .$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\beta yv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}},$

${\frac {\partial v}{\partial t}}+\beta yu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}},$

${\frac {\partial h}{\partial t}}+H{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\Big )}=0,$

gdzie $\beta$ jest zdefiniowane jako parametr beta.

Znormalizowane równania płytkiej wody względem prędkości $c,$ długości $L$ i czasu $T,$ $c=(gH)^{1/2},L=(c/\beta )^{1/2},T=c\beta ^{-1/2}$ przyjmują następującą formę

${\frac {\partial u}{\partial t}}-yv=-{\frac {\partial h}{\partial x}},$

${\frac {\partial v}{\partial t}}+yu=-{\frac {\partial h}{\partial y}},$

${\frac {\partial h}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0.$

Wartości własne i funkcje własne tego układu można otrzymać, zakładając rozkład Fouriera

$u(x,y,t)=U(k,y)e^{i(kx+\omega t)},$

$v(x,y,t)=V(k,y)e^{i(kx+\omega t)},$

$h(x,y,t)=H(k,y)e^{i(kx+\omega t)},$

czyli

$i\omega U-yV+ikH=0,$

$i\omega V+yU={\frac {dH}{dy}}=0,$

$i\omega H+ikU+{\frac {dV}{dy}}=0.$

Równania te dają

${\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\Big (}\omega ^{2}-k^{2}+{\frac {k}{\omega }}-y^{2}{\Big )}V=0,$

a dla przepływu blisko równika $V$ musi dążyć do zera dla dużych wartości $y$ (dużych szerokości geograficznych).

Równanie to jest podobne do równania Schrödingera dla kwantowego oscylatora harmonicznego i rozwiązania są możliwe tylko dla szczególnych (dyskretnych $n$) kombinacji $\Omega$ oraz $k$ danych zależnością dyspersyjną

$\omega ^{2}-k^{2}+{\frac {k}{\omega }}=2n+1\quad {}$ dla $n=0,1,2\dots$

Rozwiązanie tego równania opisuje prędkość fazową jako funkcja długości fali w atmosferze równikowej. Natomiast funkcje własne tego równania opisują prędkość horyzontalną $(u,v)$ i wysokość fal $(H+h)$ dla poszczególnych ${\bmod {(}}n=0,1,2\dots ).$ Analiza tych funkcji pozwala na zidentyfikowanie w atmosferze tropikalnych fal inercyjno-grawitacyjnych, równikowych fal Rossby’ego (czyli cyklonów tropikalnych) oraz fal Kelvina.

Charney porównywał złożoność fal atmosferycznych do muzyki: Można powiedzieć, że atmosfera jest podobna do instrumentu muzycznego, na którym można grać wiele melodii. Wysokie tony to fale dźwiękowe, niskie tony to długie fale inercyjne, a natura jest raczej podobna do Beethovena niż do Chopina: preferuje dużą ilość niskich tonów i tylko od czasu do czasu gra pasaże w górnych rejestrach i to tylko delikatną ręką. Oceany i kontynenty to są słonie z utworu Saint-Saënsa, maszerujące w powolnym ciężkim rytmie w przybliżeniu jeden krok dziennie. Oczywiście istnieją też owertony: fale dźwiękowe, fale na górnych warstwach chmur (fale grawitacyjne), oscylacje inercyjne itp. – ale te są nieistotne i są słyszalne tylko na NYU i MIT.

Bibliografia

• Adrian E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics. T. 30. Academic press, 1982, s. 662, seria: International Geophysics Series. ISBN 978-0122835223.