Definicja formalna

edytuj

Niech   i   będą niepoliczalnymi (ciągłymi) obszarami rozważań i   wtedy

 

jest relacją rozmytą dwójkową na   Jeśli   i   są policzalnymi (dyskretnymi) obszarami rozważań, wtedy

 

Działania na relacjach rozmytych

edytuj

Niech   i   będą relacjami dwójkowymi zdefiniowanymi na  

Iloczyn

edytuj

Iloczyn   i   jest zdefiniowany

 

Zamiast minimum można użyć dowolnej   -normy.

Suma   i   jest zdefiniowana

 

Projekcja

edytuj

Projekcja   na   jest zdefiniowana

 

W przypadku dwójkowym zapis jest prostszy (niech   będzie zdefiniowane na  )

 

Zamiast supremum, które jest niezbędne, gdy   i   są ciągłe, na ogół operuje się na obszarach dyskretnych, stosując operację maksimum.

Rozszerzenie cylindryczne

edytuj

Rozszerzenie cylindryczne   w   to

 

W przypadku dwójkowym (niech   będzie zbiorem rozmytym definiowanym na  ), rozszerzenie cylindryczne   na   jest zbiorem wszystkich n-tek   ze stopniem przynależności równym   to znaczy

 

Stąd   ale ogólnie  

Kompozycja

edytuj

Kombinacja zbiorów rozmytych i relacji rozmytej za pomocą rozszerzenia cylindrycznego i projekcji jest kompozycją i jest oznaczana przez  

Definicja

Niech   będzie zbiorem rozmytym zdefiniowanym na   i niech   będzie relacją rozmytą zdefiniowaną na   Wtedy kompozycję   i   stanowi zbór rozmyty   zdefiniowany na   i zapisany

 

lub jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą operacji minimum, a projekcja za pomocą operacji maksimum, to

 

Nazywamy to kompozycją max-min.

Jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą produktu, a projekcja za pomocą maksimum, to otrzymujemy

 

Nazywamy to kompozycją max-dot lub kompozycją max-produkt.

Zobacz też

edytuj