Początkowe stowarzyszone wielomiany Laguerre’a
edytuj
L
0
(
α
)
(
x
)
=
1
{\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}
L
1
(
α
)
(
x
)
=
−
x
+
α
+
1
{\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}
L
2
(
α
)
(
x
)
=
1
2
x
2
−
(
α
+
2
)
x
+
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
2
{\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}}
L
3
(
α
)
(
x
)
=
−
1
6
x
3
+
α
+
3
2
x
2
−
(
α
+
2
)
(
α
+
3
)
2
x
+
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
(
α
+
3
)
6
{\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)=-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {\alpha +3}{2}}x^{2}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)}{2}}x+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}
L
1
1
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle L_{1}^{1}(x)=-1}
L
2
1
(
x
)
=
2
x
−
4
{\displaystyle L_{2}^{1}(x)=2x-4}
L
2
2
(
x
)
=
2
{\displaystyle L_{2}^{2}(x)=2}
L
3
1
(
x
)
=
−
3
x
2
+
18
x
−
18
{\displaystyle L_{3}^{1}(x)=-3x^{2}+18x-18}
L
3
2
(
x
)
=
−
6
x
+
18
{\displaystyle L_{3}^{2}(x)=-6x+18}
L
3
3
(
x
)
=
−
6
{\displaystyle L_{3}^{3}(x)=-6}
L
4
1
(
x
)
=
4
x
3
−
48
x
2
+
144
x
−
96
{\displaystyle L_{4}^{1}(x)=4x^{3}-48x^{2}+144x-96}
L
4
2
(
x
)
=
12
x
2
−
96
x
+
144
{\displaystyle L_{4}^{2}(x)=12x^{2}-96x+144}
L
4
3
(
x
)
=
24
x
−
96
{\displaystyle L_{4}^{3}(x)=24x-96}
L
4
4
(
x
)
=
24
{\displaystyle L_{4}^{4}(x)=24}
Własności stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a
edytuj
Wzory rekurencyjne
edytuj
Wzory te pozwalają na wyznaczanie wielomianów wyższego rzędu korzystając z wielomianów niższego rzędu lub wielomianów o wyższych górnych wskaźnikach, korzystając z wielomianów o niższych górnych wskaźnikach:
L
n
(
α
+
β
+
1
)
(
x
+
y
)
=
∑
i
=
0
n
L
i
(
α
)
(
x
)
L
n
−
i
(
β
)
(
y
)
,
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),}
L
n
(
α
)
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
L
n
−
i
(
α
+
i
)
(
y
)
(
y
−
x
)
i
i
!
,
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},}
L
n
(
α
+
1
)
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
L
i
(
α
)
(
x
)
,
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x),}
L
n
(
α
)
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
α
−
β
+
n
−
i
−
1
n
−
i
)
L
i
(
β
)
(
x
)
,
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),}
L
n
(
α
)
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
α
−
β
+
n
n
−
i
)
L
i
(
β
−
i
)
(
x
)
,
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x),}
L
n
(
α
)
(
x
)
=
L
n
(
α
+
1
)
(
x
)
−
L
n
−
1
(
α
+
1
)
(
x
)
=
∑
j
=
0
k
(
k
j
)
L
n
−
j
(
α
−
k
+
j
)
(
x
)
,
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x),}
n
L
n
(
α
)
(
x
)
=
(
n
+
α
)
L
n
−
1
(
α
)
(
x
)
−
x
L
n
−
1
(
α
+
1
)
(
x
)
or
x
k
k
!
L
n
(
α
)
(
x
)
=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
(
n
+
i
i
)
(
n
+
α
k
−
i
)
L
n
+
i
(
α
−
k
)
(
x
)
,
,
{\displaystyle {\begin{aligned}nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)\\&{\text{or }}{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\end{aligned}},}
n
L
n
(
α
+
1
)
(
x
)
=
(
n
−
x
)
L
n
−
1
(
α
+
1
)
(
x
)
+
(
n
+
α
)
L
n
−
1
(
α
)
(
x
)
,
{\displaystyle nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x),}
x
L
n
(
α
+
1
)
(
x
)
=
(
n
+
α
)
L
n
−
1
(
α
)
(
x
)
−
(
n
−
x
)
L
n
(
α
)
(
x
)
,
{\displaystyle xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x),}
L
n
(
α
)
(
x
)
=
(
2
+
α
−
1
−
x
n
)
L
n
−
1
(
α
)
(
x
)
−
(
1
+
α
−
1
n
)
L
n
−
2
(
α
)
(
x
)
=
α
+
1
−
x
n
L
n
−
1
(
α
+
1
)
(
x
)
−
x
n
L
n
−
2
(
α
+
2
)
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[1ex]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}},}
(
−
x
)
i
i
!
L
n
(
i
−
n
)
(
x
)
=
(
−
x
)
n
n
!
L
i
(
n
−
i
)
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x),}
L
n
(
α
)
(
x
)
(
n
+
α
n
)
=
1
−
∑
j
=
1
n
x
j
α
+
j
L
n
−
j
(
j
)
(
x
)
(
j
−
1
)
!
=
1
−
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
j
j
α
+
j
(
n
j
)
L
n
(
−
j
)
(
x
)
=
1
−
x
∑
i
=
1
n
L
n
−
i
(
−
α
)
(
x
)
L
i
−
1
(
α
+
1
)
(
−
x
)
α
+
i
.
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)}{n+\alpha \choose n}}&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}.}
Pochodne stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a
edytuj
Ortogonalność stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a
edytuj
Zastosowania
edytuj
Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a pojawiają się w rozwiązaniach równania Helmholza w sferycznym układzie współrzędnych. Występują też w rozwiązaniu równania Schrödingera dla modelu atomu wodoru.
Bibliografia
edytuj
Bayin S.S.: Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley, (2006).
Spain B., Smith M.G.: Functions of Mathematical Physics , Van Nostrand Reinhold Company, London, (1970).
Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy , Moskva, (1971).