Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a (ang. generalized Laguerre polynomials, associated Laguerre polynomials) – wielomiany ortogonalne zdefiniowane w sposób:

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a stanowią rozwiązanie następującego równania różniczkowego II rzędu zwanego stowarzyszonym równaniem Laguerre’a:

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są uogólnieniem ‘zwykłych’ wielomianów Laguerre’a które stanowią szczególny przypadek wielomianów stowarzyszonych dla

Początkowe stowarzyszone wielomiany Laguerre’aEdytuj

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Własności stowarzyszonych wielomianów Laguerre’aEdytuj

Dla naturalnych   pierwszy wyraz wielomianu ma współczynnik:

 

a wartość wielomianu w punkcie 0 wynosi:

 

Stowarzyszony wielomian Laguerre’a   posiada   pierwiastków rzeczywistych zawartych w przedziałach  

Wzory rekurencyjneEdytuj

Wzory te pozwalają na wyznaczanie wielomianów wyższego rzędu korzystając z wielomianów niższego rzędu lub wielomianów o wyższych górnych wskaźnikach, korzystając z wielomianów o niższych górnych wskaźnikach:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Pochodne stowarzyszonych wielomianów Laguerre’aEdytuj

Podstawowy wzór na pochodną rzędu   stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:

 

W szczególności dla pierwszej pochodnej stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a mamy:

 

Wzór na pochodną rzędu   iloczyn funkcji potęgowej i stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:

 

W szczególności dla pierwszej pochodnej mamy:

 

Pochodna stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a względem parametru  

 

Ortogonalność stowarzyszonych wielomianów Laguerre’aEdytuj

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są ortogonalne w przedziale   z funkcją wagową  

 

W szczególności dla   mamy:

 

ZastosowaniaEdytuj

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a pojawiają się w rozwiązaniach równania Helmholza w sferycznym układzie współrzędnych. Występują też w rozwiązaniu równania Schrödingera dla modelu atomu wodoru.

BibliografiaEdytuj

  • Bayin S.S.: Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, (2006).
  • Spain B., Smith M.G.: Functions of Mathematical Physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, (1970).
  • Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).