System Hilberta

System Hilberta – dowolny system automatycznego dowodzenia twierdzeń, w którym występuje pewien zbiór aksjomatów i reguł dowodzenia, a dowód składa się z ciągu formuł będących albo aksjomatami, albo formułami wyprowadzonymi z poprzednich formuł na podstawie reguł dowodzenia, z których ostatnia jest właśnie formułą którą chcemy dowieść. Jest to wnioskowanie w przód w przeciwieństwie do wnioskowania w tył znanego z innych systemów dowodzenia.

Istnieje wiele Systemów Hilberta do różnych logik i dla jednej logiki.

Podstawową regułą dowodzenia w większości z nich jest modus ponens:

• jeśli $x$ i $x\supset y,$ to $y.$

Ponadto zwykle dodaje się regułę substytucji:

• jeśli dana jest pewna formuła, to wolno dopisać formułę powstałą przez podstawienie dowolnej formuły za wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej.

Zamiast skończonej liczby aksjomatów dopuszcza się skończoną liczbę schematów aksjomatu, czyli w istocie nieskończenie wiele aksjomatów.

Przykład

Załóżmy, że mamy regułę modus ponens i dwa schematy aksjomatu:

1. $X\supset (Y\supset X)$
2. $(X\supset (Y\supset Z))\supset ((X\supset Y)\supset (X\supset Z)).$

Udowodnijmy teraz, że $P\supset P{:}$
Z schematu 1 podstawiając $X=P,$ $Y=P$

$P\supset (P\supset P)$

Z schematu 1 podstawiając $X=P,$ $Y=(P\supset P)$

$P\supset ((P\supset P)\supset P)$

Z schematu 2 podstawiając $X=Z=P,$ $Y=(P\supset P)$

$(P\supset ((P\supset P)\supset P))\supset ((P\supset (P\supset P))\supset (P\supset P))$

Z drugiej i trzeciej formuły i modus ponens:

$(P\supset (P\supset P))\supset (P\supset P)$

Z pierwszej i czwartej formuły i modus ponens:

$(P\supset P)$

Co miało zostać udowodnione.