Transformata z gwiazdką

Transformata z gwiazdką, transformata gwiazdkowana (ang. star transform, starred transform) – dyskretnoczasowa wersja transformaty Laplace’a reprezentująca idealny układ próbkujący z okresem

Transformata z gwiazdką podobna jest do transformaty Z ze zwykłą zamianą zmiennych, ale transformata z gwiazdką w sposób jawny identyfikuje każdą próbkę w wyrażeniach okresu próbkowania , podczas gdy transformata Z odnosi się tylko do każdej próbki poprzez wartość indeksu liczb całkowitych.

Nazwa transformata z gwiazdką powstała z uwagi na to, że w notacji tej transformaty (podobnie jak w przypadku notacji sygnału spróbkowanego) stosuje się bardzo często gwiazdkę.

Odwrotność transformaty z gwiazdką reprezentuje sygnał spróbkowany z okresem Odwrotna transformata z gwiazdką nie jest oryginalnym sygnałem, ale zamiast tego spróbkowaną wersją sygnału oryginalnego.

Zależność pomiędzy poszczególnymi reprezentacjami można zapisać następująco:

DefinicjaEdytuj

Transformatę z gwiazdką formalnie można zdefiniować jako:

 

aby lepiej pokazać związek z transformatą Laplace’a powyższe równanie można też zapisać:

 

Związek z transformatą Laplace’aEdytuj

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Laplace’a można pokazać, biorąc residua transformaty Laplace’a danej funkcji:

 

lub

 

gdzie   to częstość kątowa próbkowania taka, że  

Związek z transformatą ZEdytuj

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Z można pokazać poprzez następujące podstawienie zmiennych:

 

Warto przy tym zauważyć, że w dziedzinie transformaty Z traci się informację o okresie próbkowania  

Własności transformaty z gwiazdkąEdytuj

Własność 1

  jest okresowa na płaszczyźnie S z okresem  

 

Własność 2

Jeśli   ma biegun w punkcie   wówczas   ma bieguny dla   gdzie