Twierdzenie Borsuka-Ulama

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.

Według Matouška[1] ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku[2]. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku[3], gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.

TwierdzenieEdytuj

Niech   oznacza  -wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej   Dla dowolnej funkcji ciągłej

 

istnieje (co najmniej jeden) taki punkt   że

 

Równoważne sformułowania[4]Edytuj

Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Zazwyczaj wykorzystuje się je w dowodach.

1) Twierdzenie Borsuka-Ulama

2) Ciągła funkcja nieparzysta (czyli zachodzi:  )   posiada   taki że  

3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie  (dla  ).

4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste na:   odwzorowanie  

DowódEdytuj

Przy użyciu kohomologiiEdytuj

Niech   będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.

Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją:   dzięki nieparzystości   dostaniemy ciągłe odwzorowanie:   gdzie   oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała  

 

który na   przybiera wartość   ale:   a   To daje sprzeczność.

PrzypisyEdytuj

  1. Matoušek 2003 ↓, s. 25.
  2. Łazar Lusternik, Lew Sznirelman, Topological methods in variational problems, Moskwa, 1930.
  3. Karol Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 20, 1933, s. 177–190.
  4. Shreejit Bandyopadhyay, The Borsuk-Ulam theoremA Combinatorial Proof, 2015.

BibliografiaEdytuj

  • Jiří Matoušek, Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag, 2003. ISBN 3-540-00362-2. doi:10.1007/978-3-540-76649-0.