Twierdzenie Borsuka-Ulama

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.

Według Matouška^[1] ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku^[2]. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku^[3], gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.

TwierdzenieEdytuj

Niech $S^{n}$ oznacza $n$ -wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n+1}.$ Dla dowolnej funkcji ciągłej

f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}

istnieje (co najmniej jeden) taki punkt $x\in S^{n},$ że

f(x)=f(-x).

Równoważne sformułowania^[4]Edytuj

Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Zazwyczaj wykorzystuje się je w dowodach.

1) Twierdzenie Borsuka-Ulama

2) Ciągła funkcja nieparzysta (czyli zachodzi: $f(-x)=-f(x)$ ) $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ posiada $x\in S^{n},$ taki że $f(x)=0.$

3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie $f:S^{n}\to S^{n-1}$ (dla $n\geqslant 2$ ).

4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste na: $S^{n-1}=\delta B^{n}$ odwzorowanie $f:B^{n}\to S^{n-1}.$

DowódEdytuj

Przy użyciu kohomologiiEdytuj

Niech $f:S^{n}\to S^{n-1}$ będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.

Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: $x\simeq y\Leftrightarrow x=-y$ dzięki nieparzystości $f$ dostaniemy ciągłe odwzorowanie: $f':P^{n}(\mathbb {R} )\to P^{n-1}(\mathbb {R} ),$ gdzie $P^{n}(\mathbb {R} )$ oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała $\mathbb {F} _{2}{:}$

\mathbb {F} _{2}[x]/(x^{n})=H^{*}(P^{n-1}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})\to H^{*}(P^{n}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[y]/(y^{n+1}),

który na $x$ przybiera wartość $y,$ ale: $x^{n}=0,$ a $y^{n}\neq 0.$ To daje sprzeczność.

PrzypisyEdytuj

↑ Matoušek 2003 ↓, s. 25.
↑ Łazar Lusternik, Lew Sznirelman, Topological methods in variational problems, Moskwa, 1930.
↑ Karol Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 20, 1933, s. 177–190.
↑ ShreejitS. Bandyopadhyay ShreejitS., The Borsuk-Ulam theoremA Combinatorial Proof, 2015 .

BibliografiaEdytuj

Jiří Matoušek, Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag, 2003. ISBN 3-540-00362-2. doi:10.1007/978-3-540-76649-0.

[CITEREFMatoušek200325-1] Matoušek 2003 ↓, s. 25.

[2] Łazar Lusternik, Lew Sznirelman, Topological methods in variational problems, Moskwa, 1930.

[3] Karol Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 20, 1933, s. 177–190.

[4] ShreejitS. Bandyopadhyay ShreejitS., The Borsuk-Ulam theoremA Combinatorial Proof, 2015 .

[1]

[2]

[3]

[4]