Twierdzenie Katětova-Tonga

Twierdzenie Katětova-Tonga – twierdzenie dotyczące funkcji półciągłych, udowodnione w latach 50. XX wieku niezależnie przez Miroslava Katětova^[1] i Hinga Tonga^[2].

Twierdzenie

Niech $X$ będzie przestrzenią normalną oraz $g,h\colon X\to \mathbb {R}$ będą takimi funkcjami, że $g$ jest półciągła z góry, $h$ jest półciągła z dołu oraz $g(x)\leqslant h(x)$ dla każdego $x\in X.$ Istnieje wówczas taka funkcja ciągła

f\colon X\to \mathbb {R} ,

że dla każdego $x\in X$ zachodzi nierówność

g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x).

Przy pomocy twierdzenia Katětova-Tonga można udowodnić twierdzenie Tietzego-Urysohna i lemat Urysohna.

Przypisy

↑ M. Katětov, On real-valued functions in topological spaces. Fundamenta Mathematicae 38 (1951), s. 85–91.
↑ HingH. Tong HingH., Some characterizations of normal and perfectly normal spaces, „Duke Mathematical Journal”, 19 (2), 1952, s. 289–292, DOI: 10.1215/S0012-7094-52-01928-5, ISSN 0012-7094 .

[1] M. Katětov, On real-valued functions in topological spaces. Fundamenta Mathematicae 38 (1951), s. 85–91.

[2] HingH. Tong HingH., Some characterizations of normal and perfectly normal spaces, „Duke Mathematical Journal”, 19 (2), 1952, s. 289–292, DOI: 10.1215/S0012-7094-52-01928-5, ISSN 0012-7094 .

[1]

[2]