Twierdzenie Taylora-Proudmana

W mechanice płynów, twierdzenie Taylora-Praudmana mówi, że przy spełnieniu pewnych warunków (patrz niżej), przepływ w trójwymiarowych układach wirujących redukuje się do przypadku dwuwymiarowego. Owa dwuwymiarowa płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu $\mathbf {\Omega }$ tzn. gradient pola prędkości przepływu, który jest macierzą, staje się „prostopadły” (tzn. gradient każdej składowej wektora prędkości jest prostopadły) do $\mathbf {\Omega }$ (czyli iloczyn wektora i macierzy $\mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} =0$).

Wyprowadzenie

Wychodzimy od równania Naviera-Stokesa (NS) dla układu obracającego się ze stałą prędkością kątową $\mathbf {\Omega } \in \mathbb {R} ^{3}{:}$

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-{\frac {1}{\varrho }}\nabla p+\nu \nabla \cdot \nabla \mathbf {v} -2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} -\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )+F,$

gdzie:

• $\mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}$ – promień (prostopadły do osi obrotu $\Omega$),
• $2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v}$ – człon związany z siłą Coriolisa,
• $\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )$ – człon związany z siłą bezwładności,

Założenia

1. $\nabla \cdot \mathbf {v} =0$ płyn nieściśliwy.
2. ${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=\mathbf {0}$ przepływ stacjonarny.
3. $1\ll |\mathbf {\Omega } |$ duża prędkość obrotowa, co implikuje że siła Coriolisa jest względnie duża, a więc człon adwekcyjny $\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v}$ jest zaniedbywalnie mały (inaczej: liczba Rossbiego jest mała tj.: $0\leqslant R_{o}\ll 1$).
4. $F=-\nabla \Phi$ człon związany z siłami masowymi jest polem potencjalnym o potencjale $\Phi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} .$
5. $0\leqslant |\nu \nabla \cdot \nabla \mathbf {v} |\ll 1$ lepkość jest zaniedbywalnie mała (przepływ nielepki).

Teza

$\mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} =0$

Dowód

Wykorzystując założenia 2, 3, 5, równanie NS upraszcza się do postaci:

${\frac {1}{\varrho }}\nabla p=F-2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} -\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} ).$

Zauważmy, że (korzystając z własności iloczynu wektorowego) można przedstawić siłę bezwładności jako gradient pewnego pola skalarnego:

$\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )=\mathbf {\Omega } (\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {r} )-\mathbf {r} (\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {\Omega } )=\nabla \left({\frac {1}{2}}(\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {r} )^{2}-|\mathbf {\Omega } |^{2}{\frac {1}{2}}|\mathbf {r} |^{2}\right)=\nabla \left(-{\frac {1}{2}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} |^{2}\right),$

gdzie $\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {\Omega } =|\mathbf {\Omega } |^{2},\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}.$ Zatem człon związany z siłą bezwładności jest pewnym polem potencjalnym.

Jak wiadomo, rotacja z pola potencjalnego jest równa zero, w związku z czym, dokonując rotacji dla obydwu stron równania NS, pozbędziemy się członu ciśnienia, sił masowych(założenie 4) oraz bezwładności – gdyż są to pola potencjalne – i dostaniemy równość:

$\nabla \times (2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} )=0.$

Dzieląc równanie obustronnie przez 2 i rozpisując lewą stronę równania zgodnie z wzorem na rotację iloczynu wektorowego, otrzymamy:

$\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} +\mathbf {\Omega } \nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \nabla \cdot \mathbf {\Omega } =0.$

A ponieważ $\mathbf {\Omega }$ jest wektorem stałym wiec $\nabla \mathbf {\Omega } =\mathbf {0} ,\nabla \cdot \mathbf {\Omega } =0.$ Uwzględniając ponadto założenie 1, po lewej stronie powyższej równości pozostaje tylko:

$\mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} =0$

zatem otrzymaliśmy tezę.