Średnia po stanach

Średnia po stanach – średnia zmiennych dynamicznych (wielkości mikroskopowych), obliczona po zespole statystycznym Gibbsa. W mechanice statystycznej tak obliczona średnia wielkości mikroskopowych odpowiada wielkości makroskopowej.

Obliczanie

Wielkość $A$ zależna jest od położeń i pędów $N$ cząstek. Skrótowy zapis $A(r,p)$ oznacza $A({\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}},\dots {\vec {r_{N}}};{\vec {p_{1}}},{\vec {p_{2}}},\dots {\vec {p_{N}}}).$ Z definicji średnia po stanach to:

$\langle A(r,p)\rangle =\int d\Gamma A(r,p)\rho (r,p),$

gdzie $\rho$ jest gęstością prawdopodobieństwa, a $\Gamma$ oznacza miarę w 6N-wymiarowej przestrzeni fazowej. Miarę tę określa wzór:

$d\Gamma ={\frac {d{\vec {r_{1}}}d{\vec {r_{2}}}\dots d{\vec {r_{N}}}d{\vec {p_{1}}}d{\vec {p_{2}}}\dots d{\vec {p_{N}}}}{N!h^{3N}}},$

gdzie czynnik $N!$ wynika z nierozróżnialności cząstek, a stała Plancka $h$ pojawia się jako konsekwencja zasady nieoznaczoności Heisenberga. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma własność:

$\int d\Gamma \rho (r,p)=1.$

Zwykle w obliczeniach mechaniki statystycznej zakłada się, że średnia po stanach jest równa średniej czasowej z danej wielkości fizycznej. To założenie jest treścią tzw. hipotezy ergodycznej.