Czynnik całkujący

Czynnik całkujący (metoda czynnika całkującego) – metoda pozwalająca znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych pierwszego rzędu poprzez sprowadzenie ich do równań różniczkowych zupełnych.

Niech dane będzie równanie różniczkowe

$P(x,y)x'+Q(x,y)y'=0$

(1)

lub, w alternatywnej postaci,

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$

(1')

gdzie funkcje $P$ i $Q$ są klasy $C^{1}$ na pewnym obszarze jednospójnym $D$ i w żadnym punkcie tego obszaru nie zerują się jednocześnie. Ponadto załóżmy, że zachodzi

${\frac {\partial P}{\partial y}}\neq {\frac {\partial Q}{\partial x}}$

(warunek ten oznacza, że równanie (1) nie jest równaniem zupełnym).

Metoda czynnika całkującego polega na znalezieniu różnej od zera funkcji $\mu (x,y)$ takiej, że po przemnożeniu przez nią równania (1'), stanie się ono równaniem zupełnym:

$\mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy=0,$

(2)

dla którego będzie zachodziło

${\frac {\partial (P\mu )}{\partial y}}={\frac {\partial (Q\mu )}{\partial x}}.$

(3)

Z powyższych wzorów wynika, że szukana funkcja musi posiadać pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Tak sprowadzone równanie, będące równaniem zupełnym daje się już scałkować, istnieje więc funkcja $U(x,y),$ dla której $U(x,y)=C$ jest całką (rozwiązaniem) równania (2), a zarazem i (1). Znajdywanie czynnika całkującego prowadzi do rozwiązywania równania (3) pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych, z niewiadomą funkcją $U(x,y),$ które w ogólności jest trudne do rozwiązania.

Niektóre przypadki postaci czynnika całkującego

Czynnik całkujący zależny tylko od $x$

Przypuśćmy, że równanie (1) ma czynnik całkujący zależny tylko od zmiennej $x,$ $\mu (x).$ Oznacza, to że musi on spełniać równanie

${\frac {\partial P}{\partial y}}\mu ={\frac {\partial Q}{\partial x}}\mu +{\frac {d\mu }{dx}}Q,$

(4)

jako że ${\frac {\partial \mu }{\partial y}}=0.$ Zakładając, że $Q\neq 0,$ otrzymujemy

${\frac {\mu '_{x}}{\mu }}={\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q}}.$

(4')

Aby istniał czynnik całkujący $\mu (x)$ konieczne jest, by prawa strona równania (4') była zależna tylko od zmiennej $x{:}$

${\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q}}=\psi (x).$

(5)

Wtedy, rozwiązując równanie o zmiennych rozdzielonych (4') otrzymujemy, że

$\mu (x)=C\exp \left(\int \psi (x)dx\right),$

(6)

gdzie $C$ jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a $\exp$ to oznaczenie funkcji eksponencjalnej. Każda z tak otrzymanych funkcji $\mu (x)$ jest czynnikiem całkującym, zwyczajowo więc przyjmuje się, że $C=1.$

Przykład

Niech dane będzie równanie liniowe

$y'(x)+p(x)\ y(x)=q(x).$

(7)

Warunek (5) jest spełniony, ponieważ w naszym przypadku $P(x,y)=p(x)y(x)-q(x)$ i $Q(x,y)=1$ oraz

${\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q}}=p(x),$

tak więc czynnikiem całkującym równania (7) jest

$\mu (x)=\exp \left(\int p(x)dx\right).$

Czynnik całkujący zależny tylko od $y$

Postępując analogicznie, jak w poprzednim przykładzie, czynnik całkujący równania (1) zależny od $y$ istnieć będzie tylko wtedy, gdy $P\neq 0$ oraz prawa strona równania

${\frac {\mu '_{y}}{\mu }}={\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{-P}}$

(8)

będzie zależna tylko od $y.$ Wtedy czynnik całkujący będzie postaci

$\mu (y)=C\exp \left(\int \psi (y)dy\right),$

(9)

gdzie ponownie $C$ jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a $\psi (y)$ to prawa strona równania (8).

Czynnik całkujący zależny od $x+y$

Ponownie, załóżmy, że równanie (1) ma czynnik całkujący postaci $\mu =\mu (S(x,y)),$ gdzie $S(x,y)=x+y.$ Zauważmy, że funkcja $\mu$ jest formalnie funkcją zmiennej $S.$ Warunek (3) przyjmuje postać

${\frac {\partial P}{\partial y}}\mu +P{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}\mu +Q{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial x}}$

$\mu '_{S}\left(P{\frac {\partial S}{\partial y}}-Q{\frac {\partial S}{\partial x}}\right)=\mu \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right).$

Ponieważ ${\frac {\partial S}{\partial x}}={\frac {\partial S}{\partial y}}=1,$ zakładając, że $P-Q\neq 0$ warunkiem na to, by funkcja $\mu$ była czynnikiem całkującym (1) jest, aby prawa strona równania

${\frac {\mu '_{S}}{\mu }}={\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q-P}}$

(10)

zależała tylko od $S,$ czyli od $x+y.$ Czynnik całkujący ma wtedy postać

$\mu =\exp \left(\int \psi (S)dS\right),$

gdzie $\psi (S),$ jak poprzednio jest prawą stroną (10).

Przykład

Rozpatrzmy równanie

$(3x+4y)dx-(2x+y)dy=0$

(11)

W naszym przypadku $P(x,y)=3x+4y,$ $Q(x,y)=-2x-y$ oraz

${\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q-P}}={\frac {6}{-5x-5y}}={\frac {-6}{5(x+y)}}$

Prawa strona równania jest zależna tylko od $S(x,y)=x+y,$ więc czynnik całkujący będzie postaci

$\mu =\exp \left(\int {\frac {-6}{5S}}dS\right)=\exp \left(-{\frac {6}{5}}\ln S\right)=S^{-{\frac {6}{5}}}=(x+y)^{-{\frac {6}{5}}}.$

Przypadek ogólny

Załóżmy w końcu że równanie (1) ma czynnik całkujący postaci $\mu =\mu (S(x,y)),$ gdzie $S(x,y)$ jest dowolną funkcją, posiadającą pochodne cząstkowe i dla której zachodzi $QS'_{x}-PS'_{y}\neq 0.$ Warunek (3) przyjmuje ponownie postać

${\frac {\partial P}{\partial y}}\mu +P{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}\mu +Q{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial x}},$

a warunkiem, by $\mu$ była czynnikiem całkującym (1) jest, by prawa strona równania

${\frac {\mu '_{S}}{\mu }}={\frac {{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}}{P{\frac {\partial S}{\partial y}}-Q{\frac {\partial S}{\partial x}}}}$

(12)

była zależna jedynie od $S.$

Istnienie i jednoznaczność czynnika całkującego

Zakładając istnienie całki ogólnej równania (1), przy poprzednich założeniach można wykazać , że każde równanie postaci (1') ma czynnik całkujący.

Z postaci czynnika całkującego

$\mu =C\exp \left(\int \psi (S)dS\right),$

(13)

wynika, że dla dowolnej, niezerowej liczby rzeczywistej $C,$ $\mu$ jest czynnikiem całkującym. Oprócz tego, jeśli $\mu$ jest czynnikiem całkującym równania (1), to

$\mu _{1}=\mu \varphi (U),$

gdzie $U(x,y)$ jest całką ogólną równania (1) a $\varphi$ jest dowolną, niezerową funkcją mającą ciągłą pochodną, także jest czynnikiem całkującym (1). W istocie, pomiędzy każdymi dwoma czynnikami całkującymi równania (1) zachodzi zależność (13).

Bibliografia

• Nikolaj M. Matwiejew: Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Warszawa: PWN, 1970.
• Herbert Goering: Elementarne metody rozwiązywania równań różniczkowych. Warszawa: PWN, 1971.
• Existence of Integrating Factor. ProofWiki, 2009. [dostęp 2013-07-09]. (ang.).