Dynamika budowli

Dynamika budowli zajmuje się obliczaniem konstrukcji budowlanych poddanych obciążeniom zmiennym w czasie[1]. Obciążenia takie wywoływane są na przykład

  • pracą maszyn w halach fabrycznych,
  • ruchem drogowym na mostach i przejazdach,
  • rytmicznymi ruchami tancerzy w salach balowych,
  • odstrzałami eksploatacyjnymi w kopalniach,
  • ruchami podłoża gruntowego w czasie trzęsień ziemi,
  • uderzeniami fal tsunami.

Z punktu widzenia mechaniki, konstrukcje budowlane są układami o nieskończonej liczbie stopni swobody. Obliczanie takich modeli, zwłaszcza dla układów złożonych, prowadzi jednak do skomplikowanych układów równań różniczkowych cząstkowych. Z tego powodu, dla celów obliczeniowych stosuje się najczęściej prostsze modele o skończonej, ale czasem bardzo dużej, liczbie stopni swobody[2]. Badanie ruchu takich modeli sprowadza się do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci

(1)

gdzie dla przyjętego modelu o n stopniach swobody

– macierz bezwładności mas,
– macierz tłumienia,
– macierz sztywności,
– wektor przemieszczeń (forma drgania),
– wektor sił zewnętrznych (wymuszających).

Elementy macierzy są reakcjami -tego więzu kinematycznego odpowiednio na jednostkowe przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie -tego więzu. Macierze są symetryczne.

Obliczanie elementów macierzy stanowi trudny problem, który dzisiaj najczęściej rozwiązuje się za pomocą metody elementów skończonych[3]. Jej podstawę stanowi teoria aproksymacji pozwalająca w sposób przybliżony opisać stan przemieszczenia układu za pomocą odpowiednich wielomianów. Są one budowane jako funkcje skończonej liczby przemieszczeń występujących w wyróżnionych punktach węzłowych konstrukcji. Jeżeli jest ona układem prętowym, to węzły są punktami połączeń poszczególnych prętów. W konstrukcjach płytowych, tarczowych i powłokowych o ciągłym rozkładzie masy, węzły są punktami fikcyjnymi, rozmieszczonymi w odpowiedni sposób na powierzchni środkowej.

Ważną charakterystyką dynamiczną układu drgającego o n stopniach swobody jest jego widmo częstości drgań własnych

Częstości te obliczane są na podstawie równania opisującego drgania swobodne (nietłumione) badanego układu

Równanie to ma niezerowe rozwiązania

wtedy, gdy spełniony jest warunek

(2)

Na to jednak aby istniały musi zostać spełnione równanie

służące do wyznaczania częstości drgań własnych układu.

Na podstawie znanych już wartości oblicza się formy drgań własnych z równania (2). Dla dowolnych możemy wtedy napisać następujące tożsamości

Po dokonaniu transpozycji w drugiej tożsamości, uwzględnieniu, że po odjęciu stronami i przyjęciu, że otrzymujemy warunek wzajemnej ortogonalności form drgań własnych

Wyznaczenie wszystkich par nosi nazwę analizy modalnej.

Przy projektowaniu konstrukcji poddanych obciążeniom harmonicznym o postaci najważniejsze znaczenie ma zazwyczaj znajomość dolnego odcinka widma, gdyż drgania o najniższych częstościach wywołać jest najłatwiej. W przypadku, gdy powstaje zjawisko rezonansu na częstości objawiające się nadmiernymi przemieszczeniami konstrukcji. Można go uniknąć zmieniając jej widmo dzięki przeprojektowaniu.

Gdy działające obciążenie zewnętrzne jest dowolną funkcją czasu, równanie ruchu (1) poddaje się numerycznemu całkowaniu, aby otrzymać odpowiedź Do tego celu opracowano szereg programów komputerowych.

PrzypisyEdytuj

  1. W. Nowacki, Dynamika budowli, Arkady Warszawa 1961.
  2. B. Olszowski, M. Radwańska, Mechanika budowli, tom 2, Politechnika Krakowska, Kraków 2010, rozdz. 4.
  3. W. Gawroński, J. Kruszewski i inni, Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, Arkady, Warszawa 1984.