Otwórz menu główne
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Przykładowy graf dwudzielny
Pełny graf dwudzielny

Graf dwudzielnygraf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Równoważnie: graf, który nie zawiera cykli nieparzystej długości. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy gdzie i oznaczają liczności zbiorów wierzchołków[1].

Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę G(U, V, E) gdzie:

U={u1, u2, ..., un},
V={v1, v2, ..., vm}

i

 

U i V są zbiorami wierzchołków, E to zbiór krawędzi.

Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiegoEdytuj

Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.

Treść twierdzeniaEdytuj

Niech   będzie grafem dwudzielnym i niech:

 

będzie podziałem wierzchołków  

Jeśli   ma cykl Hamiltona, to:

 

Jeśli   ma ścieżkę Hamiltona, to wartości   i   różnią się co najwyżej o 1.

Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli:

 

to   ma cykl Hamiltona.

Jeśli   i   różnią się co najwyżej o 1, to   ma ścieżkę Hamiltona.

DowódEdytuj

Niech   oznacza ilość wierzchołków grafu  

  • Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć, biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach   i   Jeśli:
 

wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to

 

muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, bez straty ogólności załóżmy, że należą one do   Ponieważ istnieje krawędź   liczba   musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki   należą do   z czego wynika, że:

 

W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku   W przypadku, gdy   nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.

Załóżmy   jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.:

 

Jeżeli:

 

to dla każdego „przemiennego” indeksowania wierzchołków   wyznacza cykl Hamiltona w   Gdy jeden z podziałów, np.   jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez  

Sprawdzenie dwudzielnościEdytuj

Aby przekonać się, czy dany graf jest dwudzielny, wystarczy użyć algorytmu przeszukiwania grafu (BFS lub DFS) i kolorować wierzchołki (początkowo o kolorze neutralnym) na dwa kolory tak, aby przechodzony wierzchołek miał kolor przeciwny względem poprzednika. Jeśli natrafimy na dwa wierzchołki o tym samym kolorze połączone krawędzią, to graf nie jest dwudzielny. W przeciwnym wypadku graf jest dwudzielny, podział zbioru wierzchołków na rozłączne podzbiory wyznaczają ich kolory.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Reinhard Diestel: Graph Theory. Nowy Jork: 2000, s. 14–15. ISBN 0-387-95014-1.