Graf dwudzielny

typ grafu zdefiniowany istnieniem pewnej bisekcji wierzchołków

Graf dwudzielnygraf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Równoważnie: graf, który nie zawiera cykli nieparzystej długości. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy gdzie i oznaczają liczności zbiorów wierzchołków[1].

Przykładowy graf dwudzielny
Pełny graf dwudzielny

Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.

Definicja formalna

edytuj

Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę   gdzie:

 
 

oraz

 

  i   są zbiorami wierzchołków,   to zbiór krawędzi.

Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego

edytuj

Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.

Treść twierdzenia

edytuj

Niech   będzie grafem dwudzielnym i niech:

 

będzie podziałem wierzchołków  

Jeśli   ma cykl Hamiltona, to:

 

Jeśli   ma ścieżkę Hamiltona, to wartości   i   różnią się co najwyżej o 1.

Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli:

 

to   ma cykl Hamiltona.

Jeśli   i   różnią się co najwyżej o 1, to   ma ścieżkę Hamiltona.

Dowód

edytuj

Niech   oznacza ilość wierzchołków grafu  

  • Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć, biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach   i   Jeśli:
 

wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to

 

muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, bez straty ogólności załóżmy, że należą one do   Ponieważ istnieje krawędź   liczba   musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki   należą do   z czego wynika, że:

 

W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku   W przypadku, gdy   nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.

Załóżmy   jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.:

 

Jeżeli:

 

to dla każdego „przemiennego” indeksowania wierzchołków   wyznacza cykl Hamiltona w   Gdy jeden z podziałów, np.   jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez  

Sprawdzenie dwudzielności

edytuj

Aby przekonać się, czy dany graf jest dwudzielny, wystarczy użyć algorytmu przeszukiwania grafu (BFS lub DFS) i kolorować wierzchołki (początkowo o kolorze neutralnym) na dwa kolory tak, aby przechodzony wierzchołek miał kolor przeciwny względem poprzednika. Jeśli natrafimy na dwa wierzchołki o tym samym kolorze połączone krawędzią, to graf nie jest dwudzielny. W przeciwnym wypadku graf jest dwudzielny, podział zbioru wierzchołków na rozłączne podzbiory wyznaczają ich kolory.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Reinhard Diestel: Graph Theory. Nowy Jork: 2000, s. 14–15. ISBN 0-387-95014-1.