Metoda strzałów

Metoda strzałów – metoda rozwiązywania zagadnienia brzegowego przez zastąpienie go zagadnieniem początkowym.

Zagadnienia brzegowego równania różniczkowego drugiego rzędu metoda przedstawia się następująco

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.$

Niech $y_{a}(t)$ oznacza rozwiązanie problemu początkowego

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.$

Zdefiniujmy funkcje $F(a)$ jako różnicę między $y_{a}(t)$ a ustaloną wartością brzegową $y_{1}$

$F(a)=y_{a}(t_{1})-y_{1}.$

Jeśli problem brzegowy ma rozwiązanie wtedy $F$ ma pierwiastek, i pierwiastek ten jest wartością $y'(t_{0}),$ która daje rozwiązanie $y(t)$ problemu brzegowego.

Zwykłe metody znajdowania pierwiastków, takie jak metoda bisekcji, metoda Newtona mogą zostać użyte do znalezienia $a.$

Ilustracja graficzna

Na poniższym rysunku widać, że rozwiązanie problemu początkowego dla dobrze dobranego parametru $a$ jest w przybliżeniu równe rozwiązaniu problemu brzegowego.

Kolorowe linie to styczne funkcji $y_{a}(t)$ w punkcie $(t_{0},y_{0})$ dla różnych $a.$