Metoda równego podziału

Metoda równego podziału (metoda połowienia, metoda bisekcji, metoda połowienia przedziału) – jedna z metod rozwiązywania równań nieliniowych. Opiera się ona na twierdzeniu Darboux:

Jeżeli funkcja ciągła $f(x)$ ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków, to wewnątrz tego przedziału, istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania $f(x)=0$.

Aby można było zastosować metodę równego podziału, muszą być spełnione założenia:

1. funkcja $f(x)$ jest ciągła w przedziale domkniętym $[a;b]$
2. funkcja przyjmuje różne znaki na końcach przedziału: $f(a)f(b)<0$

Przebieg algorytmu

1. Sprawdzenie, czy pierwiastkiem równania jest punkt $x_{1}={\tfrac {a+b}{2}},$ czyli czy $f(x_{1})=0.$
   Jeżeli tak jest algorytm kończy działanie, a punkt $x_{1}$ jest szukanym miejscem zerowym.
2. W przeciwnym razie, dopóki nie osiągniemy żądanej dokładności, czyli dopóki $\mid a-b\mid >\epsilon {:}$
   1. Zgodnie ze wzorem z punktu pierwszego ponownie wyznaczane jest $x_{1},$ dzieląc przedział $[a,b]$ na dwa mniejsze przedziały: $[a,x_{1}]$ i $[x_{1},b].$
   2. Wybierany jest przedział o znaku przeciwnym niż $x_{1}$ i odpowiednio górny albo dolny kraniec przedziału ($b$ albo $a$) przyjmuje wartość $x_{1},$ tj.
      1. Jeżeli $f(a)f(x_{1})<0,$ to $b=x_{1},$
      2. Jeżeli $f(x_{1})f(b)<0,$ to $a=x_{1}.$
3. Po osiągnięciu żądanej dokładności algorytm kończy działanie, a szukany pierwiastek równania wynosi ${\tfrac {a+b}{2}}.$

Przykład

Wyznaczyć pierwiastek równania $f(x)=x^{3}-x+1$ w przedziale $[-2;2].$

Rozwiązanie:

• Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału: $f(-2)=-5,$ a $f(2)=7.$
• Dzielimy przedział na połowy: $x_{1}={\tfrac {-2+2}{2}}=0$ i obliczamy wartość $f(x_{1})=1.$
• Ponieważ wartość funkcji dla $x_{1}$ jest różna od zera, algorytm jest kontynuowany. Mamy teraz dwa przedziały $[-2,0]$ i $[0,2].$ Wybieramy ten, na którego końcach znaki funkcji są różne – $f(-2)f(0)=-5\cdot 1=-5<0$ lub $f(0)f(2)=1\cdot 7=7>0.$ Zatem pierwiastek leży w przedziale $[-2,0]$
• Dzielimy przedział na połowy: $x_{2}={\tfrac {-2+0}{2}}=-1$ i obliczamy wartość funkcji $f(-1)=1$ – liczba $x_{2}$ nie jest zatem pierwiastkiem.
• Znowu dzielimy przedział na dwa podprzedziały, wybieramy jeden z nich itd.

Uwaga: rozwiązanie można wyznaczyć z dowolną dokładnością (czyli dla każdego $\epsilon >0$ można znaleźć takie $x_{0},$ że $\mid x-x_{0}\mid <\epsilon$ gdzie $x$ jest pierwiastkiem równania), w rzadkich przypadkach można uzyskać dokładną wartość pierwiastka (gdy algorytm zostanie zakończony w 1. punkcie). Algorytm metody równego podziału jest blisko spokrewniony z wyszukiwaniem binarnym.

Pseudokod

Prezentacja metody równego podziału w języku Python 3. Początkowe wartości a i b muszą być wybrane w taki sposób, aby f(a) i f(b) były przeciwnego znaku oraz „otaczały” poszukiwane miejsce zerowe. Zmienna epsilon określa dokładność wyniku, np. 0,0001.

while abs(a - b) > epsilon: # dopóki nie uzyskamy zadanej dokładności
    x1 = (a + b) / 2

    if abs(f(x1)) <= epsilon: # jeżeli znaleźliśmy miejsce zerowe mniejsze bądź równe przybliżeniu zera
        break
    elif f(x1) * f(a) < 0:
        b = x1 # nadpisywanie prawego krańca przedziału
    else:
        a = x1 # nadpisywanie lewego krańca przedziału

print((a + b) / 2) # zwracanie znalezionego miejsca zerowego

Zobacz też

• metoda numeryczna

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równań:

• regula falsi
• metoda siecznych
• metoda Newtona (zwana również metodą Newtona-Raphsona lub metodą stycznych)
• odwrotna interpolacja kwadratowa
• metoda iteracji