Model Blacka

Model Blacka – model matematyczny w analizie portfelowej służący inwestorom do pomocy w wyborze portfela inwestycyjnego. Jest on poszerzeniem modelu Markowitza o dopuszczenie nieograniczonej krótkiej sprzedaży. Zatem zbiorem portfeli dopuszczalnych w tym modelu jest cała płaszczyzna k-wymiarowa:

$x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k}=1.$

Oznacza to, że ze zbioru k spółek inwestor dobiera portfel tak, aby suma wszystkich walorów w portfelu była równa początkowemu kapitałowi L. Czyli matematycznie możemy to zapisać w postaci:

$L+\sum _{j\in J}A_{j}=\sum _{i\in I}A_{i},$

gdzie $J\subseteq \{1,\dots ,k\}$ jest zbiorem indeksów spółek, których akcje inwestor sprzedał, $I\subseteq \{1,\dots ,k\}$ jest zbiorem indeksów spółek, których akcje inwestor kupił, a $A_{l}$ oznacza wartość akcji $l$-tej spółki. Oznacza to, że jeśli zapiszemy ten wzór trochę inaczej:

$1=\sum _{i\in I}{\frac {A_{i}}{L}}+\sum _{j\in J}{\frac {-A_{j}}{L}},$

to dostajemy naszą płaszczyznę, bo możemy oznaczyć $x_{i}={\frac {A_{i}}{L}}$ dla $i\in I$ i $x_{j}={\frac {-A_{j}}{L}}$ dla $j\in J.$

Sformułowanie problemu

Patrzenie na model Blacka, jako na poszerzenie modelu Markowitza jest uzasadnione tym, że podstawowe wzory na stopę zwrotu (wartość oczekiwaną) i ryzyko (wariancję) pozostają bez zmian. Mamy więc:

$E=\mu ^{T}x$

oraz

$\sigma ^{2}=x^{T}\Sigma x.$

W modelu Blacka definiujemy dodatkowe wielkości ułatwiające zapis kolejnych wzorów. Są to:

$\alpha =\mu ^{T}\Sigma ^{-1}\mu ,$

$\beta =\mu ^{T}\Sigma ^{-1}e,$

$\gamma =e^{T}\Sigma ^{-1}e,$

gdzie $e$ jest wektorem złożonym z samych jedynek.

Prosta krytyczna

Jest to zbiór punktów krytycznych odwzorowania prowadzącego z płaszczyzny

$x_{1}+\ldots +x_{k}=1$

na płaszczyznę $\mathbb {R} ^{2}(\sigma ^{2},E).$

W modelu Blacka, przy założeniu, że $\Sigma$ jest dodatnio określona oraz $\mu \not \parallel e,$ zbiór punktów krytycznych tworzy prostą $\{x(E):E\in \mathbb {R} \}$ zadaną wzorem:

$x(E)=(\alpha \gamma -\beta ^{2})^{-1}\Sigma ^{-1}\left({\begin{vmatrix}E&\beta \\1&\gamma \end{vmatrix}}\mu +{\begin{vmatrix}\alpha &E\\\beta &1\end{vmatrix}}e\right)$

Pocisk Markowitza

Jest obrazem prostej krytycznej na płaszczyźnie

$\mathbb {R} ^{2}(\sigma ^{2},E).$

W modelu Blacka jest to prawa gałąź (dla $\sigma >0$) hiperboli zadanej wzorem:

${\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(E-E_{0})^{2}}{b^{2}}}=1,$

gdzie $a={\frac {1}{\sqrt {\gamma }}},b={\frac {\sqrt {\alpha \gamma -\beta ^{2}}}{\gamma }},E_{0}={\frac {\beta }{\gamma }}.$

Zauważmy, że tangens połowy kąta pomiędzy asymptotami pocisku Markowitza wynosi:

${\frac {a}{b}}={\sqrt {\frac {\alpha \gamma -\beta ^{2}}{\gamma }}}.$

Granica minimalna, portfel minimalnego ryzyka, granica efektywna

Granica minimalna

Podobnie jak w modelu Markowitza istnieje granica minimalna w modelu Blacka, zdefiniowana w ten sam sposób, czyli jako zbiór lewych końców przecięcia obrazu na płaszczyźnie $\mathbb {R} ^{2}(\sigma ^{2},E)$ z prostymi $E=const.$

Portfel minimalnego ryzyka

Portfel minimalnego ryzyka w tym modelu daje się zapisać konkretnym wzorem:

$x_{min}={\frac {\Sigma ^{-1}e}{\gamma }}.$

Granica efektywna

Analogicznie jak w modelu Markowitza, w dużym uproszczeniu jest to zbiór portfeli, które mają wyższą stopę zwrotu przy tym samym ryzyku. Geometrycznie jest to górna część granicy minimalnej, czyli portfele leżące ponad portfelem minimalnego ryzyka.

Portfele optymalne względem funkcji użyteczności

Portfelem optymalnym względem funkcji użyteczności jest portfel, który minimalizuje jej wartość oczekiwaną, czyli oczekiwaną użyteczność. Geometrycznie jest to punkt przecięcia obrazu portfeli na płaszczyźnie $R^{2}(\sigma ^{2},E)$ z tą krzywą obojętności funkcji użyteczności, która jako pierwsza do niego dociera. Punkt ten leży na granicy minimalnej.

Przykład 1

$\Sigma ={\begin{bmatrix}9&3&1\\3&2&2\\1&2&4\end{bmatrix}},$ $\mu ={\begin{bmatrix}5\\4\\2\end{bmatrix}}$

$\alpha ={\frac {68}{5}}$

$\beta ={\frac {13}{5}}$

$\gamma ={\frac {3}{5}}$

$\sigma ^{2}(x)=9x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+6x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$

Prosta krytyczna: $10x_{1}+2x_{2}=0$ lub inaczej: $x(E)={\frac {1}{7}}[2-E,5E-10,15-4E]$

Pocisk Markowitza: $\sigma ^{2}(E)=\sigma ^{2}(x(E))={\frac {1}{7}}(3E^{2}-26E+68)$

Obraz boku ${\overline {e_{1}e_{2}}}{:}$ $\sigma ^{2}(E)=5E^{2}-38E+74$

Obraz boku ${\overline {e_{2}e_{3}}}{:}$ $\sigma ^{2}(E)={\frac {1}{2}}E^{2}-4E+10$

Obraz boku ${\overline {e_{1}e_{3}}}{:}$ $\sigma ^{2}(E)={\frac {11}{9}}E^{2}-{\frac {62}{9}}E+{\frac {116}{9}}$

Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkt wspólny prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie $\mathbb {R} (\sigma ,E)$ pocisk Markowitza (czyli czarna hiperbola) tworzy granicę minimalną.

Bibliografia

• MariuszM. Baryło MariuszM., PiotrP. Mormul PiotrP., Analiza portfelowa i rynki kapitałowe 1, Uniwersytet Warszawski 2012 . Brak numerów stron w książce