Model Markowitza (model średniej-wariancji)

Model Markowitza został zaproponowany przez Harry’ego M. Markowitza w 1952 roku w artykule Portfolio Selection[1]. Sformułowanie problemu jest następujące: inwestor, konstruując swój portfel, chciałby jednocześnie zwiększać zysk i zmniejszać ryzyko z tym portfelem związane – w tym celu powinien jednak uwzględnić różnego rodzaju powiązania między spółkami, w które inwestuje. Markowitz w jednej ze swoich książek pisze:

Dobry portfel jest czymś więcej niż długą listą dobrych akcji i obligacji. Jest to wyważona całość, zapewniająca inwestorowi stosowną ochronę i możliwości w przypadku szerokiej rangi możliwych scenariuszy[2].

W swoim modelu Markowitz podaje propozycję rozwiązania problemu dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego: minimalizacja ryzyka (wyrażonego poprzez wariancję) przy ustalonym z góry poziomie zysku (wyrażonego przez wartość oczekiwaną), jaki chce osiągnąć inwestor. Model Markowitza jest także nazywany modelem średniej-wariancji, Mean-Variance Model (ang.).

Oznaczenia modelu

edytuj
  •   strategia inwestycyjna, albo inaczej portfel,   dla   to udział kapitału, jaki został przeznaczony na inwestycję w spółkę giełdową  
  •    -wymiarowa Zmienna losowa przyszłych zwrotów z akcji spółek giełdowych
  •   wektor wartości średnich zmiennej   gdzie  
  •   wartość oczekiwana zwrotu z portfela to  
  •   to kowariancja   oraz   (dla  ), gdzie   przez   oznaczamy współczynnik korelacji Pearsona, zaś   oraz  
  •   wariancja zwrotu z portfela; w szczególności  
  •   macierz kowariancji zmiennej   jest to macierz nieujemnie określona i symetryczna.

Założenia modelu

edytuj
 
Zbiór   spełniających założenia modelu dla  
  •   – udziały w portfelu sumują się do 1; inwestujemy 100% kapitału
  •   dla   – zakaz krótkiej sprzedaży

Rozwiązanie problemu

edytuj

Przy podanych wcześniej założeniach modelu należy zminimalizować ryzyko   przy ustalonym poziomie zysku  

 

Tak postawiony problem rozwiązuje się, korzystając z metody Karusha-Kuhna-Tuckera.

Prosta krytyczna

edytuj

W modelu Blacka, przy pominięciu zakazu krótkiej sprzedaży, oraz dodaniu założenia   oraz założenia o dodatniej określoności macierzy   otrzymuje się dokładnie jeden portfel   zależący od   w sposób afiniczny. Oznacza to, że przy zmieniającym się   zbiór rozwiązań   tworzy prostą, nazywaną prostą krytyczną. Prosta ta może (ale nie musi) przecinać zbiór portfeli dopuszczalnych w sensie Markowitza (tj. spełniających założenia modelu Markowitza).

  gdzie

  •  
  •  
  •  
  •   oraz  

Granica minimalna, granica efektywna, portfel efektywny

edytuj

Przekształcenie   przypisuje portfelowi jego ryzyko i zwrot. Z wszystkich portfeli o danym ryzyku   dla inwestora najlepszy jest ten, który ma największe   Obrazy portfeli o tej własności to zbiór lewych końców przecięcia obrazu zbioru portfeli dopuszczalnych na płaszczyźnie   z prostymi   Zbiór ten określa się pojęciem granicy minimalnej. Podzbiór tego zbioru, składający się z punktów, dla których nie istnieje portfel dopuszczalny   o nie mniejszej   i mniejszym   ani portfel o większej   i nie większym   nosi nazwę granicy efektywnej. Portfele odpowiadające punktom granicy efektywnej to portfele efektywne.

Minimalizacja wariancji   jest równoważna minimalizacji odchylenia standardowego   Z tego powodu rozwiązanie problemu nie zmienia się, niezależnie, czy rozpatruje się portfele i ich obrazy w przekształceniu   czy też w przekształceniu  

Przykład 1

edytuj
 
Przykład 1, rysunek 1
 
Przykład 1, rysunek 2

Niech   oraz   Założenia:   oraz   Zmienną   można zatem zastąpić przez   Zbiór portfeli dopuszczalnych został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi   jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to   Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to   Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie   krzywe zaznaczone kolorem różowym i niebieskim oraz wszystkie wyróżnione punktu, tworzą granicę minimalną, przy czym krzywa zaznaczona na różowo, włącznie z punktami     tworzą granicę efektywną.

Przykład 2

edytuj
 
Przykład 2, rysunek 1
 
Przykład 2, rysunek 2

Niech   oraz   Założenia:   oraz   Zmienną   można zatem zastąpić przez   Zbiór portfeli dopuszczalnych (tj. spełniających założenia modelu) został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi   jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to   Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to   Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie   punkty     i fragment niebieskiej krzywej między nimi, czerwona krzywa, punkty     i fragment różowej krzywej zawarty między nimi, tworzą granicę minimalną, zaś jej fragment zawarty między punktami   tworzy granicę efektywną.

Przykład 3

edytuj
 
Przykład 3, rysunek 1

Niech   (tzn.       zaś   dla  ) oraz   Granica efektywna składa się z odcinków: różowego i niebieskiego, łącznie z końcami. Granica minimalna to odcinek różowy, z końcami włącznie.

Przykład 4

edytuj
 
Przykład 4, rysunek 1

Niech   (tzn.       zaś    ) oraz   Granica efektywna to łamana o wierzchołkach:         Granica minimalna to odcinek o końcach   i  

Przypisy

edytuj
  1. Harry M. Markowitz. Portfolio Selection. „The Journal of Finance”. 7 (1), s. 77–91, marzec 1952. DOI: 10.2307/2975974. JSTOR: 2975974. (ang.). 
  2. Harry M. Markowitz: Portfolio Selection. Efficient diversification of investments. Wyd. II. Malden, Massachusetts: Blackwell Publishers Inc, 1991, s. 3. ISBN 978-1557861085.