Naprężenie główne – wektor naprężenia normalnego
jakie występuje w takim punkcie przekroju poprzecznego ośrodka materialnego, w którym naprężenie styczne
ma wartość zerową[1].
Poszukiwanie naprężeń głównych jest szczególnym przypadkiem zagadnienia własnego dla macierzy zawierającej elementy tensora naprężenia. Otrzymane wartości własne są naprężeniami głównymi, a wektory własne określają nową bazę takiego układu współrzędnych, w którym tensor naprężenia będzie miał postać diagonalną (a).
Większość używanych tensorów naprężenia jest symetryczna (z wyjątkiem np. niesymetrycznej teorii sprężystości bądź tensora Pioli-Kirchhoffa I rodzaju) więc naprężenia główne są rzeczywiste.
Naprężenia główne oznaczane są symbolami
Tensor naprężenia w układzie współrzędnych wyznaczonym przez wektory własne będzie miał współrzędne:
(a)
Umownie przyjmuje się kolejność:
Naprężenia główne są pierwiastkami następującego równania[2][3]:
![{\displaystyle -\sigma ^{3}+I_{1}\sigma ^{2}-I_{2}\sigma +I_{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224e7d3c0cc7ce802711351b2a36f161d8fa7f0a)
gdzie:
– naprężenie normalne,
– niezmienniki stanów naprężenia, które można obliczyć z następujących wzorów:
![{\displaystyle I_{1}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9701a31751909369d6a50815357c9eb74fd9cb5)
![{\displaystyle I_{2}={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{vmatrix}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f504cc8bf9e1c8397fdde0d0b1e78d84515a862)
![{\displaystyle I_{3}={\begin{vmatrix}\sigma _{ij}\end{vmatrix}}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b607c51d1964f236fe26e7175dd2ce9e9ea9f9)
w których
są naprężeniami głównymi.
Wartości niezmienników nie zmieniają się przy obrocie układu współrzędnych.
Trajektorią naprężenia głównego
nazywamy krzywą o tej własności, że kierunki stycznych do tej linii są równocześnie kierunkami tego naprężenia głównego. Znajomość trajektorii, głównych naprężeń rozciągających w betonie elementów konstrukcyjnych, stanowi podstawę właściwego projektowania rozkładu zbrojenia rozciąganego w tych elementach.
- ↑ Gawęcki A., Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej 1985, s. 33.
- ↑ Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN Warszawa 1980, s. 91.
- ↑ Biezuchow N.I., Teoria sprężystości i plastyczności, PWN Warszawa 1957, s. 109.