Naprężenie główne

Naprężenie główne – wektor naprężenia normalnego ${\vec {\sigma }}_{n},$ jakie występuje w takim punkcie przekroju poprzecznego ośrodka materialnego, w którym naprężenie styczne ${\vec {\tau }}$ ma wartość zerową.

Poszukiwanie naprężeń głównych jest szczególnym przypadkiem zagadnienia własnego dla macierzy zawierającej elementy tensora naprężenia. Otrzymane wartości własne są naprężeniami głównymi, a wektory własne określają nową bazę takiego układu współrzędnych, w którym tensor naprężenia będzie miał postać diagonalną (a).

Większość używanych tensorów naprężenia jest symetryczna (z wyjątkiem np. niesymetrycznej teorii sprężystości bądź tensora Pioli-Kirchhoffa I rodzaju) więc naprężenia główne są rzeczywiste.

Naprężenia główne oznaczane są symbolami $\sigma _{1},$ $\sigma _{2},$ $\sigma _{3}.$ Tensor naprężenia w układzie współrzędnych wyznaczonym przez wektory własne będzie miał współrzędne:

(a)     $\sigma _{ij}^{'}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{pmatrix}}.$

Umownie przyjmuje się kolejność: $\sigma _{1}\geqslant \sigma _{2}\geqslant \sigma _{3}.$

Naprężenia główne są pierwiastkami następującego równania:

$-\sigma ^{3}+I_{1}\sigma ^{2}-I_{2}\sigma +I_{3}=0,$

gdzie:

$\sigma$ – naprężenie normalne,

$I_{1},$ $I_{2},$ $I_{3}$ – niezmienniki stanów naprężenia, które można obliczyć z następujących wzorów:

$I_{1}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3},$

$I_{2}={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{vmatrix}}=$

$\qquad \qquad \qquad =\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1},$

$I_{3}={\begin{vmatrix}\sigma _{ij}\end{vmatrix}}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3},$

w których $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ są naprężeniami głównymi.

Wartości niezmienników nie zmieniają się przy obrocie układu współrzędnych.

Trajektorią naprężenia głównego $\sigma _{i}$ nazywamy krzywą o tej własności, że kierunki stycznych do tej linii są równocześnie kierunkami tego naprężenia głównego. Znajomość trajektorii, głównych naprężeń rozciągających w betonie elementów konstrukcyjnych, stanowi podstawę właściwego projektowania rozkładu zbrojenia rozciąganego w tych elementach.