Nierówność Poincarégo

Nierówność Poincarégo – rezultat dotyczący ograniczania normy $L^{p}$ funkcji (pomniejszonej o średnią całkową) z przestrzeni Sobolewa przez normę jej gradientu.

Wypowiedź

Niech $1\leqslant p<+\infty$ oraz $\Omega$ będzie otwartym, ograniczonym i spójnym podzbiorem $\mathbb {R} ^{n}$ o brzegu klasy $C^{1}.$ Wtedy istnieje taka stała $C>0,$ że dla każdej funkcji $u$ należącej do przestrzeni Sobolewa $W^{1,p}(\Omega )$ zachodzi:

\|u-(u)_{\Omega }\|_{L^{p}}\leqslant C\|\nabla u\|_{L^{p}},

gdzie:

$(u)_{\Omega }={\frac {1}{m(\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)dx$ jest średnią całkową funkcji $u$ na $\Omega ,$
$m(\Omega )$ oznacza miarę Lebesgue’a na $\mathbb {R} ^{n}$ zbioru $\Omega ,$
$\|\nabla u\|_{L^{p}}$ jest dane wzorem:

\|\nabla u\|_{L^{p}}=(\sum _{j=1}^{n}\|{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\|_{L^{p}}^{p})^{1/p}.

Bibliografia

Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.