Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej ) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej ). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia , który zwykle uznaje się za nieruchomy[1] .
Operator używany w mechanice płynów .
Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:
D
D
t
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}
lub w sktócie
D
t
.
{\displaystyle D_{t}.}
W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:
∂
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}
różniczkowania cząstkowego względem czasu
t
.
{\displaystyle t.}
Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:
Zapis klasyczny
D
D
t
=
∂
∂
t
+
v
x
∂
∂
x
+
v
y
∂
∂
y
+
v
z
∂
∂
z
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}
Zapis indeksowy
D
D
t
=
∂
∂
t
+
v
i
∇
i
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{i}\nabla ^{i}}
Zapis absolutny
D
D
t
=
∂
∂
t
+
v
→
⋅
∇
→
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}}
gdzie:
v
{\displaystyle v}
– prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.
Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej , drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu[1] .
Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako
φ
,
{\displaystyle \varphi ,}
która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym , można wyrazić operator Stokesa przez:
D
D
t
ϕ
=
(
∂
∂
t
+
v
→
⋅
∇
→
)
ϕ
=
∂
ϕ
∂
t
+
v
→
⋅
∇
→
ϕ
.
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .}
Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu[1] :
ϕ
=
v
,
{\displaystyle \phi =v,}
a
=
D
D
t
v
=
(
∂
∂
t
+
v
→
⋅
∇
→
)
v
=
∂
v
∂
t
+
v
→
⋅
∇
→
v
.
{\displaystyle a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.}
Wyprowadzenie w analizie lokalnej
edytuj
W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
w chwili
t
,
{\displaystyle t,}
znajdzie się w chwili
t
+
Δ
t
{\displaystyle t+\Delta t}
w punkcie
x
→
+
Δ
x
→
.
{\displaystyle {\vec {x}}+\Delta {\vec {x}}.}
Z definicji pochodnej:
D
D
t
ϕ
=
lim
Δ
t
→
0
ϕ
(
t
+
Δ
t
,
x
→
+
Δ
x
→
)
−
ϕ
(
t
,
x
→
)
Δ
t
.
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})-\phi (t,{\vec {x}})}{\Delta t}}.}
Oznaczając:
v
→
′
=
Δ
x
→
Δ
t
,
{\displaystyle {\vec {v}}'={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}},}
można zauważyć, że:
lim
Δ
t
→
0
v
→
′
=
v
→
.
{\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\vec {v}}'={\vec {v}}.}
Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu
(
t
,
x
,
y
,
z
)
,
{\displaystyle (t,x,y,z),}
otrzymuje się:
ϕ
(
t
+
Δ
t
,
x
→
+
Δ
x
→
)
=
ϕ
(
t
,
x
→
)
+
∂
ϕ
∂
x
→
⋅
Δ
x
→
+
∂
ϕ
∂
t
Δ
t
+
O
(
Δ
x
→
Δ
x
→
)
+
O
(
Δ
t
2
)
=
ϕ
(
t
,
x
→
)
+
(
∂
ϕ
∂
x
→
⋅
v
→
′
+
∂
ϕ
∂
t
)
Δ
t
+
O
(
Δ
t
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})&=\phi (t,{\vec {x}})+{\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot \Delta {\vec {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta {\vec {x}}\,\Delta {\vec {x}})+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})\\&=\phi (t,{\vec {x}})+\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2}).\end{aligned}}}
Stąd:
D
D
t
ϕ
=
lim
Δ
t
→
0
(
∂
ϕ
∂
x
→
⋅
v
→
′
+
∂
ϕ
∂
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
(
v
→
′
⋅
∇
→
+
∂
∂
t
)
ϕ
=
(
∂
∂
t
+
v
→
⋅
∇
→
)
ϕ
.
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\vec {v}}'\cdot {\vec {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\phi =\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\phi .}
Wyprowadzenie alternatywne
edytuj
Różniczka zupełna funkcji
ϕ
(
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \phi (t,x,y,z)}
ma postać:
d
ϕ
=
∂
ϕ
∂
t
d
t
+
∂
ϕ
∂
x
d
x
+
∂
ϕ
∂
y
d
y
+
∂
ϕ
∂
z
d
z
,
{\displaystyle d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}dz,}
dzieląc przez
d
t
,
{\displaystyle dt,}
możemy zapisać:
d
ϕ
d
t
=
∂
ϕ
∂
t
+
∂
ϕ
∂
x
d
x
d
t
+
∂
ϕ
∂
y
d
y
d
t
+
∂
ϕ
∂
z
d
z
d
t
,
{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},}
uwzględniając, że prędkość
v
→
=
[
u
,
v
,
w
]
=
[
d
x
d
t
,
d
y
d
t
,
d
z
d
t
]
{\displaystyle {\vec {v}}=[u,v,w]=\left[{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right]}
otrzymujemy:
d
ϕ
d
t
=
∂
ϕ
∂
t
+
u
∂
ϕ
∂
x
+
v
∂
ϕ
∂
y
+
w
∂
ϕ
∂
z
.
{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \phi }{\partial z}}.}
Co można zapisać, używając operatorów:
d
ϕ
d
t
=
∂
ϕ
∂
t
+
v
→
⋅
∇
ϕ
.
{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \phi .}
W literaturze oznaczenia
d
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}}
oraz
D
D
t
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}
używane są zamiennie.