|
Ten artykuł należy dopracować: |
Operator translacji – operator liniowy określony na przestrzeni funkcji, którego działanie można określić jako przesunięcie funkcji o dany wektor.
Jeśli
jest funkcją z przestrzeni funkcji
wówczas:
Do poprawnej definicji operatora translacji wymagane jest, by zachodziło wynikanie: jeśli
należy do przestrzeni funkcji
to wówczas każda funkcja postaci
Rozpatrzmy infinitezymalną translację przestrzenną
w wyniku której funkcja falowa zmieni się następująco:
![{\displaystyle \Psi ^{'}=\Psi (\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} )=\Psi (\mathbf {r} )+\delta \mathbf {r} {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r} }}=D\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b4cefbadb07d33f5dd3fbda743e797bb1ed977)
gdzie:
![{\displaystyle D=1+\delta \mathbf {r} {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439fa60abda43fa73c9f89e9dd0067f341e9876c)
jest operatorem infinitezymalnych translacji. Wiemy, że operator pędu ma postać
możemy zatem napisać D jako
![{\displaystyle D=1+i\delta \mathbf {rp} /\hbar .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a873060774caaf168f1d3dd6f62ac5aa2ea6b36d)
Skończoną translację
można uzyskać jako złożenie
translacji infinitezymalnych
w granicy
![{\displaystyle D=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {i\Delta \mathbf {rp} }{n\hbar }})^{n}=e^{i\Delta \mathbf {rp} /\hbar }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75d7585fac30220ad26d5719d2266b81ed87658)