Prawo odbicia procesu Wienera

Prawo odbicia procesu Wienera – twierdzenie mówiące, że jeżeli trajektoria procesu Wienera $f(t)$ osiąga wartość $f(s)=a$ w chwili $t=s,$ to $2\cdot a-f(t)(t>a)$ jest również trajektorią pewnej realizacji procesu Wienera. Prawo odbicia można wyprowadzić z mocnej własności Markowa procesu Wienera.

Czarna krzywa przedstawia symulację procesu Wienera. Gdy krzywa ta osiąga wartość a = 50 w punkcie t ≃ 3000, zarówno wyjściowy proces, jak i jego odbicie oznaczone na czerwono mają ten sam rozkład

Twierdzenie

Niech $(W_{t})_{t\geqslant 0}$ będzie procesem Wienera (rozpoczynającym od 0) oraz niech $a>0.$ Wówczas prawo odbicia w swej podstawowej wersji orzeka, że

${\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a\right)=2{\mathsf {P}}(W_{t}\geqslant a).$

W ogólniejszej wersji, prawo odbicia orzeka, że jeżeli $\tau$ jest skończonym prawie na pewno momentem zatrzymania procesu Wienera rozpoczynającego od 0, to proces $(W_{t}^{\tau })_{t\geqslant 0}$ określony wzorem

$W_{t}^{\tau }=W_{t}\mathbf {1} _{\left\{t\leqslant \tau \right\}}+(2W_{\tau }-W_{t})\mathbf {1} _{\left\{t>\tau \right\}}$

jest również procesem Wienera, gdzie $\mathbf {1}$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru.

Podstawowa wersja prawa odbicia wynika z podanej wyżej poprzez rozważenie momentu zatrzymania

$\tau =\inf \left\{t\geqslant 0\colon W_{t}=a\right\}.$

Dowód podstawowej wersji prawa odbicia

Moment zatrzymania

$\tau _{a}=\inf \left\{t\geqslant 0\colon W_{t}=a\right\}.$

jest prawie na pewno ograniczony. Z mocnej własności Markowa wynika, że relatywna trajektoria względem momentu $\tau _{a}{:}$

$X_{t}:=W_{t+\tau _{a}}-a,$

jest również procesem Wienera, niezależnym od σ-ciała ${\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}.$ Wówczas

${\begin{aligned}{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a\right)&={\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a,W_{t}\geqslant a\right)+{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a,W_{t}<a\right)\\&={\mathsf {P}}\left(W_{t}\geqslant a\right)+{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a,X_{t-\tau _{a}}<0\right).\end{aligned}}$

Z odpowiednich własności warunkowej wartości oczekiwanej wynika, że drugi składnik prawej strony powyższej równości wynosi

${\begin{aligned}{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a,X_{t-\tau _{a}}<0\right)&={\mathsf {E}}\left[{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a,X_{t-\tau _{a}}<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\mathsf {E}}\left[\mathbf {1} _{\{\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a\}}{\mathsf {P}}\left(X_{t-\tau _{a}}<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\mathsf {E}}\left[\mathbf {1} _{\{\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a\}}{\mathsf {P}}\left(X_{t-\tau _{a}}<0\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a\right),\end{aligned}}$

ponieważ $(X_{t})_{t\geqslant 0}$ jest procesem Wienera niezależnym od ${\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W},$ a prawdopodobieństwo przyjęcia wartości ujemnych przez każdą ze zmiennych $X_{t}$ wynosi $1/2$ z uwagi na ich symetrię. Ostatecznie, z otrzymanych zależności otrzymujemy

${\begin{aligned}{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a\right)&={\mathsf {P}}\left(W_{t}\geqslant a\right)+{\frac {1}{2}}{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W(s)\geqslant a\right),\\{\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}\geqslant a\right)&=2{\mathsf {P}}\left(W_{t}\geqslant a\right).\end{aligned}}$

Bibliografia

• Kurt Jacobs, Stochastic Processes for Physicists: Understanding Noisy Systems, Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0521765428.
• Peter Mörters, Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0521760188.