Zagadnienie mostów królewieckich
Zagadnienie mostów królewieckich, problem mostów królewieckich[1] – kwestia, nad jaką rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a którą rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler[2][3][4][5].
Przez Królewiec przepływa rzeka Pregoła, w której rozwidleniach znajdują się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki. Problem, którym zainteresował się Euler, był następujący: czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć raz i tylko raz[2][3][4][5].
Opis zagadnienia opublikowany przez Eulera w 1741 roku w pracy Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (wolumen 8, strony 128-140)[6] jest uznawany za pierwszą pracę na temat teorii grafów.
Euler wykazał, że jest to niemożliwe, a decyduje o tym nieparzysta liczba wylotów mostów zarówno na każdą z wysp, jak i na oba brzegi rzeki. Rozważył przy tym także ogólniejszy problem, starając się ustalić warunki, które muszą być spełnione, żeby dany graf spójny można było opisać linią ciągłą w taki sposób, by każda krawędź tego grafu była obwiedziona tylko raz (patrz graf eulerowski)[4][5]. Euler pokazał, że jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wierzchołków tego grafu, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi, wynosi 0 lub 2. Doszedł także do wniosku, że aby przejść wszystkie krawędzie grafu i wrócić do punktu wyjścia, nie może on zawierać węzłów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi.
Przekształcenie schematu mostów w graf
edytuj
→
→
Lewy wierzchołek reprezentuje małą wyspę ze środka obrazka, prawy to wyspa z prawej (na rysunku widać tylko jej fragment), a górny i dolny wierzchołek, to brzegi rzeki.
Przypisy
edytuj
- ↑ Euler Leonhard, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-12-10].
- ↑ a b Jerzy Mioduszewski, Mosty królewieckie: dwieście lat później, „Delta”, 4, 1981 [dostęp 2021-03-25].
- ↑ a b Mariusz Śliwiński, Mosty królewieckie [online], math.edu.pl [dostęp 2021-03-25].
- ↑ a b c Iwo Białynicki-Birula, Iwona Białynicka-Birula, Modelowanie rzeczywistości, Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002, s. 14–18, ISBN 83-7255-103-0.
- ↑ a b c Grafy II [online], Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego [dostęp 2021-03-25].
- ↑ Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis [online], Euler Archive [dostęp 2021-03-25] (ang.).
Bibliografia
edytuj- Alexander Bogomolny, Graphs Fundamentals [online], Cut-the-knot [dostęp 2021-03-25] (ang.).
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein, Königsberg Bridge Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Leonhard Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis [online], Euler Archive [dostęp 2021-03-25] (łac.).
Dan Van der Vieren, How the Königsberg bridge problem changed mathematics, kanał TED-Ed na YouTube, 1 września 2016 [dostęp 2024-08-22].
