Otwórz menu główne

Rugownik – wyrażenie zależne od współczynników dwóch wielomianów, równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.

Definicja i własnościEdytuj

Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym  

 
 

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia   postaci[a]

 

Przyjmuje się dodatkowo, że  

Wówczas dla dowolnych wielomianów  

  •  
  •  
  •   wtedy i tylko wtedy, gdy   i   mają wspólny pierwiastek.
  • Istnieją takie wielomiany   że  

Niech   będą postaci

 
 

Wtedy  [b]

ZastosowanieEdytuj

Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymiEdytuj

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych     – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg   uzyskujemy:

 
 

gdzie   są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

 

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg   tworzy się rugownik   Można udowdnić, że gdy para   jest rozwiązaniem układu równań   zachodzi   oraz  

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli   są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości   odciętej i   rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par   są rozwiązaniami układu równań.

UwagiEdytuj

  1. Współczynnik   pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad   Ich wzajemne położenie zależy od wartości  
  2. Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.

BibliografiaEdytuj