Twierdzenie Bézouta
Twierdzenie Bézouta: Wartość dowolnego wielomianu obliczona dla dowolnej wartości jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian . W szczególnym wypadku, gdy , to wielomian jest podzielny przez , zaś jest pierwiastkiem wielomianu[1].
Przykłady edytuj
(1) Wielomian
nie jest podzielny przez , gdyż ; de facto w dzieleniu tego wielomianu przez otrzymuje się trójmian i resztę .
(2) Wielomian
jest podzielny przez , gdyż .
Twierdzenie Bézouta - ogólne sformułowanie edytuj
Niech będzie pierścieniem przemiennym z jedynką.
Tw. Element jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian że Ponadto stopień wielomianu jest o jeden niższy niż stopień wielomianu , tj. [1].
Dowód: edytuj
Niech wielomian ma postać
Różnica dwóch k-tych potęg dana jest znanym wzorem:
Niech oznacza większy czynnik z prawej strony powyższej równości. Wtedy
(ponieważ ). Wtedy
Ponieważ jest wielomianem stopnia n-1 (gdyż np. jest wielomianem stopnia n-1), to otrzymujemy tezę twierdzenia, cnd.[2]
Równość Bézouta edytuj
Wartość wielomianu w punkcie jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian co wynika z ostatniej równości dowodu[3]. Równość tę nazywa się równością Bézouta[1].
Zobacz też edytuj
Przypisy edytuj
- ↑ a b c Adam Neugebauer , Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. I, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-06-26] .
- ↑ Twierdzenie Bézouta [online], DeltaMi [dostęp 2022-06-26] (pol.).
- ↑ Bézouta twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-10-12] .