Suma Gaussa
Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.
Definicja
edytujNiech będzie liczbą pierwszą, zaś liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem
gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle e_p(x) = e^{2 \pi i x / p}.}
Dla niepodzielnych przez (w przeciwnym wypadku suma jest równa ) równoważnie można ją zapisać jako
gdzie jest symbolem Legendre’a.
Własności
edytuj- Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie
- Dokładna wartość wyliczona przez Gaussa wynosi
- Dowód tego, że wartość bezwzględna wynosi jest prosty:
gdyż
- Ogólnie dla dowolnej sumy gdzie jest liczbą całkowitą, zachodzi
Bibliografia
edytuj- Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000.