Szereg 1 − 2 + 4 − 8 + …

Szereg 1 − 2 + 4 − 8 + … – szereg naprzemienny, którego wyrazami są kolejne potęgi liczby 2 z naprzemiennym znakiem. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy −2

$\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}.$

Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje. W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona suma uogólniona ${\tfrac {1}{3}}.$

Historia

Gottfried Leibniz rozważał naprzemienny rozbieżny szereg $1-2+4-8+\ldots$ już w 1673 roku. Twierdził, że od kolejności wykonywanych działań zależy ostateczny wynik, który wynosi +∞ lub −∞, wobec czego oba wyniki są błędne a całość powinna być skończona.

Si liceret subtrahere antecedens adimendum a sequenti addendo ut 4–2 et 16–8 etc. totum fieret infinitum. Si liceret subtrahere sequens ab antecedente 2–4, 8–16 etc. totum foret minus nihilo, toto infinito, nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito.

Gottfried Leibniz,

Nie dość tego, twierdząc, że szereg ma sumę, to ponadto wywnioskował związek z wartością ${\tfrac {1}{3}},$ stosując metodę Merkatora.

Matematyka współczesna

Szeregi geometryczne

Dowolna metoda sumacyjna posiadająca właściwości regularności, liniowości i stabilności sumuje szeregi geometryczne

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}.$

W tym przypadku $a=1,$ a $q=-2,$ więc suma równa się ${\tfrac {1}{3}}.$

Sumowanie Eulera

Leonhard Euler, w swojej pracy Institutiones z 1755 roku, zastosował sposób nazywany obecnie transformacją Eulera, w celu przyspieszenia zbieżności szeregów naprzemiennych

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}.$

Korzystając z tej metody, Euler twierdził, że suma szeregu $1-2+4-8+\ldots$ wynosi ${\tfrac {1}{3}}$. Nie jest to podejście współczesne – obecnie o takiej metodzie można powiedzieć, że zadany szereg jest sumowalny metodą Eulera lub że jego suma eulerowska wynosi ${\tfrac {1}{3}}$.

Fragment z Institutiones

Transformację Eulera rozpoczyna ciąg dodatnich składników:

$a_{0}=1,$

$a_{1}=2,$

$a_{2}=4,$

$a_{3}=8,$

$\ldots$

Skąd uzyskujemy ciąg różnic w przód:

$\Delta a_{0}=a_{1}-a_{0}=2-1=1,$

$\Delta a_{1}=a_{2}-a_{1}=4-2=2,$

$\Delta a_{2}=a_{3}-a_{2}=8-4=4,$

$\Delta a_{3}=a_{4}-a_{3}=16-8=8,$

$\ldots$

Ciąg ten okazuje się być identyczny jak ciąg początkowy. Stąd iterując kolejne wartości różnic w przód otrzymujemy

$\Delta ^{n}a_{0}=1$

dla każdego n. Transformacją Eulera jest szereg

${\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\ldots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\ldots$

Jest to zbieżny szereg geometryczny, którego suma obliczona w standardowy sposób wynosi ${\tfrac {1}{3}}.$

Sumowanie Borela

Sumowanie metodą Borela szeregu $1-2+4-8+\ldots$ także zwraca wynik ${\tfrac {1}{3}}.$ Kiedy Émile Borel przedstawiał wzory na obliczanie skończonych sum szeregów naprzemiennych w 1896 roku, zastosował ten szereg jako jeden z przykładów obok 1 − 1 + 1 − 1 +….

Zobacz też

• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …

Bibliografia

• Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. 1755. (łac.). Brak numerów stron w książce
• Ferraro, Giovanni and Marco Panza. Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis. „Historia Mathematica”. 30 (1), s. 17–46, luty 2003. DOI: 10.1016/S0315-0860(02)00017-4. (ang.). 
• C.I. Gerhardt: Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover. Halle: H.W. Schmidt, 1860. (niem. • łac.). Brak numerów stron w książce
• Eberhard Knobloch. Beyond Cartesian limits: Leibniz’s passage from algebraic to “transcendental” mathematics. „Historia Mathematica”. 33, s. 113–131, 2006. DOI: 10.1016/j.hm.2004.02.001. (ang.). 
• Jacob Korevaar: Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer, 2004. ISBN 3-540-21058-X. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Gottfried Leibniz: Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen. S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke (red.). Akademie Verlag, 2003. ISBN 3-05-004003-3. Brak numerów stron w książce
• Charles Moore: Summable Series and Convergence Factors. AMS, 1938. LCC QA1.A5225 V.22. Brak numerów stron w książce
• Lloyd Smail: History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press, 1925. LCC QA295.S64. (ang.). Brak numerów stron w książce